Theorem rngdir 13960

Description: Distributive law for the multiplication operation of a non-unital ring (right-distributivity). (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngdi.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngdir	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngdir

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngdi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		rngdi.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		rngdi.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isrng 13953	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))))
6		oveq1 6025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)))
7		oveq1 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
8		oveq1 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
9	7, 8	oveq12d 6036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)))
10	6, 9	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐))))
11		oveq1 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑋 + 𝑏))
12	11	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐))
13	8	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))
14	12, 13	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))))
15	10, 14	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))))
16		oveq1 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 + 𝑐) = (𝑌 + 𝑐))
17	16	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)))
18		oveq2 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
19	18	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)))
20	17, 19	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐))))
21		oveq2 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 + 𝑏) = (𝑋 + 𝑌))
22	21	oveq1d 6033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐))
23		oveq1 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑐))
24	23	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)))
25	22, 24	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐))))
26	20, 25	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑏) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)))))
27		oveq2 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 + 𝑐) = (𝑌 + 𝑍))
28	27	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)))
29		oveq2 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
30	29	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))
31	28, 30	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ↔ (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍))))
32		oveq2 6026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍))
33		oveq2 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 · 𝑐) = (𝑌 · 𝑍))
34	29, 33	oveq12d 6036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
35	32, 34	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐)) ↔ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
36	31, 35	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · (𝑌 + 𝑐)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑐)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑐) = ((𝑋 · 𝑐) + (𝑌 · 𝑐))) ↔ ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))))
37	15, 26, 36	rspc3v 2926	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))))
38		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))
39	37, 38	syl6com 35	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐))) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
40	39	3ad2ant3 1046	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏) + (𝑎 · 𝑐)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑐) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝑏 · 𝑐)))) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
41	5, 40	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
42	41	imp 124	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087  +_gcplusg 13165  ._rcmulr 13166  Smgrpcsgrp 13489  Abelcabl 13877  mulGrpcmgp 13939  Rngcrng 13951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-rng 13952

This theorem is referenced by:  rnglz  13964  rngmneg1  13966  rngsubdir  13971  rngressid  13973  imasrng  13975  opprrng  14096  issubrng2  14230  rnglidlrng  14518