Theorem rngsubdir 13508

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 8412 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) Generalization of ringsubdir 13613. (Revised by AV, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngsubdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngsubdi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rngsubdi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngsubdi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rngsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		rngsubdi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
5		rnggrp 13494	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		rngsubdi.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	3, 4, 6, 7	grpinvcld 13181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
9		rngsubdi.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		rngsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12	3, 10, 11	rngdir 13497	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
13	1, 2, 8, 9, 12	syl13anc 1251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
14	3, 11, 4, 1, 7, 9	rngmneg1 13503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍) = ((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)))
15	14	oveq2d 5938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
16	13, 15	eqtrd 2229	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
17		rngsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
18	3, 10, 4, 17	grpsubval 13178	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
19	2, 7, 18	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
20	19	oveq1d 5937	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍))
21	3, 11	rngcl 13500	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 9, 21	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23	3, 11	rngcl 13500	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
24	1, 7, 9, 23	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
25	3, 10, 4, 17	grpsubval 13178	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
27	16, 20, 26	3eqtr4d 2239	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  Grpcgrp 13132  inv_gcminusg 13133  -_gcsg 13134  Rngcrng 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-rng 13489

This theorem is referenced by:  2idlcpblrng  14079