Theorem rngmneg1 13824

Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg1 8502 analog). In contrast to ringmneg1 13930, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngmneg1	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem rngmneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2207	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2207	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		rngneglmul.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		rngneglmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		rnggrp 13815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	grprinvd 13503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑅))
10	9	oveq1d 5982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = ((0g‘𝑅) · 𝑌))
11		rngneglmul.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		rngneglmul.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12, 3	rnglz 13822	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
14	5, 11, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2240	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅))
16	1, 12	rngcl 13821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 8, 11, 16	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 4, 7, 8	grpinvcld 13496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
19	1, 12	rngcl 13821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵)
20	5, 18, 11, 19	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4	grpinvid1 13499	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
23	1, 2, 12	rngdir 13818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)))
24	23	eqcomd 2213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌))
25	5, 8, 18, 11, 24	syl13anc 1252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌))
26	25	eqeq1d 2216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((𝑁‘𝑋) · 𝑌)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) ↔ ((𝑋(+g‘𝑅)(𝑁‘𝑋)) · 𝑌) = (0g‘𝑅)))
28	15, 27	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝑋) · 𝑌))
29	28	eqcomd 2213	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · 𝑌) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  Basecbs 12947  +_gcplusg 13024  ._rcmulr 13025  0_gc0g 13203  Grpcgrp 13447  inv_gcminusg 13448  Rngcrng 13809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-abl 13738  df-mgp 13798  df-rng 13810

This theorem is referenced by:  rngm2neg  13826  rngsubdir  13829