ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srgpcomppsc GIF version

Theorem srgpcomppsc 13180
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
srgpcomp.m ร— = (.rโ€˜๐‘…)
srgpcomp.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
srgpcomp.e โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
srgpcomp.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
srgpcomp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
srgpcomp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
srgpcomp.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
srgpcomp.c (๐œ‘ โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
srgpcompp.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
srgpcomppsc.t ยท = (.gโ€˜๐‘…)
srgpcomppsc.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
srgpcomppsc (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = (๐ถ ยท (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))

Proof of Theorem srgpcomppsc
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
2 srgpcomppsc.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
3 srgpcomp.g . . . . . . . . 9 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
43srgmgp 13156 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
51, 4syl 14 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
6 srgpcompp.n . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
7 srgpcomp.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
8 srgpcomp.s . . . . . . . . . 10 ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
93, 8mgpbasg 13141 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐บ))
101, 9syl 14 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐บ))
117, 10eleqtrd 2256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
12 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
13 srgpcomp.e . . . . . . . 8 โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
1412, 13mulgnn0cl 13004 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
155, 6, 11, 14syl3anc 1238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
1615, 10eleqtrrd 2257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
17 srgpcomp.k . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
18 srgpcomp.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
1918, 10eleqtrd 2256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
2012, 13mulgnn0cl 13004 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
215, 17, 19, 20syl3anc 1238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
2221, 10eleqtrrd 2257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
23 srgpcomppsc.t . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
24 srgpcomp.m . . . . . . 7 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
258, 23, 24srgmulgass 13177 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) = (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))
2625eqcomd 2183 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)))
271, 2, 16, 22, 26syl13anc 1240 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)))
2827oveq1d 5892 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = (((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด))
29 srgmnd 13155 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
301, 29syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
318, 23mulgnn0cl 13004 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) โˆˆ ๐‘†)
3230, 2, 16, 31syl3anc 1238 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) โˆˆ ๐‘†)
338, 24srgass 13159 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
341, 32, 22, 7, 33syl13anc 1240 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
3528, 34eqtrd 2210 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
368, 24srgcl 13158 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
371, 22, 7, 36syl3anc 1238 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด) โˆˆ ๐‘†)
388, 23, 24srgmulgass 13177 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด))))
391, 2, 16, 37, 38syl13anc 1240 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด))))
408, 24srgass 13159 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ((๐‘ โ†‘ ๐ด) โˆˆ ๐‘† โˆง (๐พ โ†‘ ๐ต) โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
411, 16, 22, 7, 40syl13anc 1240 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)))
4241eqcomd 2183 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด))
4342oveq2d 5893 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด))) = (๐ถ ยท (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด)))
4439, 43eqtrd 2210 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท (๐‘ โ†‘ ๐ด)) ร— ((๐พ โ†‘ ๐ต) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด)))
45 srgpcomp.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
468, 24, 3, 13, 1, 7, 18, 17, 45, 6srgpcompp 13179 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด) = (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)))
4746oveq2d 5893 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต)) ร— ๐ด)) = (๐ถ ยท (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))
4835, 44, 473eqtrd 2214 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ((๐‘ โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))) ร— ๐ด) = (๐ถ ยท (((๐‘ + 1) โ†‘ ๐ด) ร— (๐พ โ†‘ ๐ต))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  1c1 7814   + caddc 7816  โ„•0cn0 9178  Basecbs 12464  .rcmulr 12539  Mndcmnd 12822  .gcmg 12988  mulGrpcmgp 13135  SRingcsrg 13151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-minusg 12886  df-mulg 12989  df-cmn 13095  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-srg 13152
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator