Theorem srgpcomppsc 14157

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgpcomppsc.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgpcomppsc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcomppsc	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))

Proof of Theorem srgpcomppsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomppsc.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
3		srgpcomp.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
4	3	srgmgp 14133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
5	1, 4	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		srgpcompp.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		srgpcomp.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
8		srgpcomp.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
9	3, 8	mgpbasg 14091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑆 = (Base‘𝐺))
10	1, 9	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐺))
11	7, 10	eleqtrd 2313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
12		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13		srgpcomp.e	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
14	12, 13	mulgnn0cl 13876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
15	5, 6, 11, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
16	15, 10	eleqtrrd 2314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
17		srgpcomp.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
18		srgpcomp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
19	18, 10	eleqtrd 2313	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
20	12, 13	mulgnn0cl 13876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
21	5, 17, 19, 20	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
22	21, 10	eleqtrrd 2314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
23		srgpcomppsc.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑅)
24		srgpcomp.m	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
25	8, 23, 24	srgmulgass 14154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))
26	25	eqcomd 2240	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
27	1, 2, 16, 22, 26	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
28	27	oveq1d 6067	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴))
29		srgmnd 14132	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
30	1, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
31	8, 23	mulgnn0cl 13876	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆)
32	30, 2, 16, 31	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆)
33	8, 24	srgass 14136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
34	1, 32, 22, 7, 33	syl13anc 1276	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
35	28, 34	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
36	8, 24	srgcl 14135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
37	1, 22, 7, 36	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
38	8, 23, 24	srgmulgass 14154	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))))
39	1, 2, 16, 37, 38	syl13anc 1276	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))))
40	8, 24	srgass 14136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
41	1, 16, 22, 7, 40	syl13anc 1276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
42	41	eqcomd 2240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴))
43	42	oveq2d 6068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))) = (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)))
44	39, 43	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)))
45		srgpcomp.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
46	8, 24, 3, 13, 1, 7, 18, 17, 45, 6	srgpcompp 14156	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
47	46	oveq2d 6068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))
48	35, 44, 47	3eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  1c1 8133   + caddc 8135  ℕ₀cn0 9501  Basecbs 13233  ._rcmulr 13312  Mndcmnd 13650  ._gcmg 13857  mulGrpcmgp 14085  SRingcsrg 14128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-seqfrec 10817  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-minusg 13738  df-mulg 13858  df-cmn 14024  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-srg 14129

This theorem is referenced by: (None)