Theorem srgpcomppsc 13976

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgpcomppsc.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgpcomppsc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcomppsc	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))

Proof of Theorem srgpcomppsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomppsc.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
3		srgpcomp.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
4	3	srgmgp 13952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
5	1, 4	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		srgpcompp.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		srgpcomp.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
8		srgpcomp.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
9	3, 8	mgpbasg 13910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑆 = (Base‘𝐺))
10	1, 9	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐺))
11	7, 10	eleqtrd 2308	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
12		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13		srgpcomp.e	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
14	12, 13	mulgnn0cl 13696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
15	5, 6, 11, 14	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
16	15, 10	eleqtrrd 2309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
17		srgpcomp.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
18		srgpcomp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
19	18, 10	eleqtrd 2308	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
20	12, 13	mulgnn0cl 13696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
21	5, 17, 19, 20	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
22	21, 10	eleqtrrd 2309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
23		srgpcomppsc.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑅)
24		srgpcomp.m	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
25	8, 23, 24	srgmulgass 13973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))
26	25	eqcomd 2235	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
27	1, 2, 16, 22, 26	syl13anc 1273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
28	27	oveq1d 6025	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴))
29		srgmnd 13951	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
30	1, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
31	8, 23	mulgnn0cl 13696	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆)
32	30, 2, 16, 31	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆)
33	8, 24	srgass 13955	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
34	1, 32, 22, 7, 33	syl13anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
35	28, 34	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
36	8, 24	srgcl 13954	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
37	1, 22, 7, 36	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
38	8, 23, 24	srgmulgass 13973	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))))
39	1, 2, 16, 37, 38	syl13anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))))
40	8, 24	srgass 13955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
41	1, 16, 22, 7, 40	syl13anc 1273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
42	41	eqcomd 2235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴))
43	42	oveq2d 6026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))) = (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)))
44	39, 43	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)))
45		srgpcomp.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
46	8, 24, 3, 13, 1, 7, 18, 17, 45, 6	srgpcompp 13975	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
47	46	oveq2d 6026	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))
48	35, 44, 47	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  1c1 8016   + caddc 8018  ℕ₀cn0 9385  Basecbs 13053  ._rcmulr 13132  Mndcmnd 13470  ._gcmg 13677  mulGrpcmgp 13904  SRingcsrg 13947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-seqfrec 10687  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-minusg 13558  df-mulg 13678  df-cmn 13844  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-srg 13948

This theorem is referenced by: (None)