Theorem srgpcompp 14278

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomp.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	srgmgp 14255	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		srgpcompp.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		srgpcomp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
7		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
8	2, 7	mgpbasg 14207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑆 = (Base‘𝐺))
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐺))
10	6, 9	eleqtrd 2317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
11		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12		srgpcomp.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
13	11, 12	mulgnn0cl 13924	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
14	4, 5, 10, 13	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
15	14, 9	eleqtrrd 2318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
16		srgpcomp.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		srgpcomp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	17, 9	eleqtrd 2317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
19	11, 12	mulgnn0cl 13924	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
20	4, 16, 18, 19	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
21	20, 9	eleqtrrd 2318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
22		srgpcomp.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
23	7, 22	srgass 14258	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
24	1, 15, 21, 6, 23	syl13anc 1280	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
25		srgpcomp.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
26	7, 22, 2, 12, 1, 6, 17, 16, 25	srgpcomp 14277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))
27	26	oveq2d 6095	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
28	7, 22	srgass 14258	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
29	1, 15, 6, 21, 28	syl13anc 1280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
30	27, 29	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
31	2, 22	mgpplusgg 14204	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → × = (+g‘𝐺))
32	1, 31	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → × = (+g‘𝐺))
33	32	oveqd 6096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
34		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
35	11, 12, 34	mulgnn0p1 13919	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
36	4, 5, 10, 35	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
37	33, 36	eqtr4d 2274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴))
38	37	oveq1d 6094	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
39	24, 30, 38	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  1c1 8174   + caddc 8176  ℕ₀cn0 9546  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  ._rcmulr 13415  Mndcmnd 13712  ._gcmg 13905  mulGrpcmgp 14200  SRingcsrg 14250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-seqfrec 10868  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-minusg 13792  df-mulg 13906  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-srg 14251

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  14279