Theorem srgpcompp 13487

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomp.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	srgmgp 13464	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		srgpcompp.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		srgpcomp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
7		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
8	2, 7	mgpbasg 13422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑆 = (Base‘𝐺))
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐺))
10	6, 9	eleqtrd 2272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
11		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12		srgpcomp.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
13	11, 12	mulgnn0cl 13208	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
14	4, 5, 10, 13	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
15	14, 9	eleqtrrd 2273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
16		srgpcomp.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		srgpcomp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	17, 9	eleqtrd 2272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
19	11, 12	mulgnn0cl 13208	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
20	4, 16, 18, 19	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
21	20, 9	eleqtrrd 2273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
22		srgpcomp.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
23	7, 22	srgass 13467	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
24	1, 15, 21, 6, 23	syl13anc 1251	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
25		srgpcomp.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
26	7, 22, 2, 12, 1, 6, 17, 16, 25	srgpcomp 13486	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))
27	26	oveq2d 5934	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
28	7, 22	srgass 13467	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
29	1, 15, 6, 21, 28	syl13anc 1251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
30	27, 29	eqtr4d 2229	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
31	2, 22	mgpplusgg 13420	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → × = (+g‘𝐺))
32	1, 31	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → × = (+g‘𝐺))
33	32	oveqd 5935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
34		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
35	11, 12, 34	mulgnn0p1 13203	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
36	4, 5, 10, 35	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
37	33, 36	eqtr4d 2229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴))
38	37	oveq1d 5933	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
39	24, 30, 38	3eqtrd 2230	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  1c1 7873   + caddc 7875  ℕ₀cn0 9240  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  Mndcmnd 12997  ._gcmg 13189  mulGrpcmgp 13416  SRingcsrg 13459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-minusg 13076  df-mulg 13190  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-srg 13460

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  13488