Theorem srgpcompp 14028

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomp.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	srgmgp 14005	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		srgpcompp.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		srgpcomp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
7		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
8	2, 7	mgpbasg 13963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑆 = (Base‘𝐺))
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐺))
10	6, 9	eleqtrd 2309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
11		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12		srgpcomp.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
13	11, 12	mulgnn0cl 13748	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
14	4, 5, 10, 13	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
15	14, 9	eleqtrrd 2310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
16		srgpcomp.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		srgpcomp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	17, 9	eleqtrd 2309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
19	11, 12	mulgnn0cl 13748	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
20	4, 16, 18, 19	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
21	20, 9	eleqtrrd 2310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
22		srgpcomp.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
23	7, 22	srgass 14008	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
24	1, 15, 21, 6, 23	syl13anc 1275	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
25		srgpcomp.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
26	7, 22, 2, 12, 1, 6, 17, 16, 25	srgpcomp 14027	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))
27	26	oveq2d 6039	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
28	7, 22	srgass 14008	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
29	1, 15, 6, 21, 28	syl13anc 1275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
30	27, 29	eqtr4d 2266	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
31	2, 22	mgpplusgg 13961	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → × = (+g‘𝐺))
32	1, 31	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → × = (+g‘𝐺))
33	32	oveqd 6040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
34		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
35	11, 12, 34	mulgnn0p1 13743	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
36	4, 5, 10, 35	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
37	33, 36	eqtr4d 2266	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴))
38	37	oveq1d 6038	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
39	24, 30, 38	3eqtrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  1c1 8038   + caddc 8040  ℕ₀cn0 9407  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183  ._rcmulr 13184  Mndcmnd 13522  ._gcmg 13729  mulGrpcmgp 13957  SRingcsrg 14000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-seqfrec 10716  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-minusg 13610  df-mulg 13730  df-mgp 13958  df-ur 13997  df-srg 14001

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  14029