Theorem srgpcompp 13997

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomp.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	srgmgp 13974	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		srgpcompp.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		srgpcomp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
7		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
8	2, 7	mgpbasg 13932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑆 = (Base‘𝐺))
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐺))
10	6, 9	eleqtrd 2308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
11		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12		srgpcomp.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
13	11, 12	mulgnn0cl 13718	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
14	4, 5, 10, 13	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
15	14, 9	eleqtrrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
16		srgpcomp.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		srgpcomp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	17, 9	eleqtrd 2308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
19	11, 12	mulgnn0cl 13718	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
20	4, 16, 18, 19	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
21	20, 9	eleqtrrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
22		srgpcomp.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
23	7, 22	srgass 13977	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
24	1, 15, 21, 6, 23	syl13anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
25		srgpcomp.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
26	7, 22, 2, 12, 1, 6, 17, 16, 25	srgpcomp 13996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))
27	26	oveq2d 6029	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
28	7, 22	srgass 13977	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
29	1, 15, 6, 21, 28	syl13anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
30	27, 29	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
31	2, 22	mgpplusgg 13930	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → × = (+g‘𝐺))
32	1, 31	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → × = (+g‘𝐺))
33	32	oveqd 6030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
34		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
35	11, 12, 34	mulgnn0p1 13713	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
36	4, 5, 10, 35	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
37	33, 36	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴))
38	37	oveq1d 6028	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
39	24, 30, 38	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  1c1 8026   + caddc 8028  ℕ₀cn0 9395  Basecbs 13075  +_gcplusg 13153  ._rcmulr 13154  Mndcmnd 13492  ._gcmg 13699  mulGrpcmgp 13926  SRingcsrg 13969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-seqfrec 10703  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-0g 13334  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-minusg 13580  df-mulg 13700  df-mgp 13927  df-ur 13966  df-srg 13970

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  13998