Theorem srgpcompp 13179

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcompp	⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcompp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomp.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	srgmgp 13156	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		srgpcompp.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		srgpcomp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
7		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
8	2, 7	mgpbasg 13141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑆 = (Base‘𝐺))
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐺))
10	6, 9	eleqtrd 2256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
11		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12		srgpcomp.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
13	11, 12	mulgnn0cl 13004	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
14	4, 5, 10, 13	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
15	14, 9	eleqtrrd 2257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
16		srgpcomp.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		srgpcomp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	17, 9	eleqtrd 2256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
19	11, 12	mulgnn0cl 13004	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
20	4, 16, 18, 19	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
21	20, 9	eleqtrrd 2257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
22		srgpcomp.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
23	7, 22	srgass 13159	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
24	1, 15, 21, 6, 23	syl13anc 1240	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
25		srgpcomp.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
26	7, 22, 2, 12, 1, 6, 17, 16, 25	srgpcomp 13178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵)))
27	26	oveq2d 5893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
28	7, 22	srgass 13159	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
29	1, 15, 6, 21, 28	syl13anc 1240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 ↑ 𝐵))))
30	27, 29	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
31	2, 22	mgpplusgg 13139	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → × = (+g‘𝐺))
32	1, 31	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → × = (+g‘𝐺))
33	32	oveqd 5894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
34		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
35	11, 12, 34	mulgnn0p1 12999	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
36	4, 5, 10, 35	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴)(+g‘𝐺)𝐴))
37	33, 36	eqtr4d 2213	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 + 1) ↑ 𝐴))
38	37	oveq1d 5892	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
39	24, 30, 38	3eqtrd 2214	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  1c1 7814   + caddc 7816  ℕ₀cn0 9178  Basecbs 12464  +_gcplusg 12538  ._rcmulr 12539  Mndcmnd 12822  ._gcmg 12988  mulGrpcmgp 13135  SRingcsrg 13151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-minusg 12886  df-mulg 12989  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-srg 13152

This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  13180