Theorem srgidmlem 13981

Description: Lemma for srglidm 13982 and srgridm 13983. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgidmlem	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Proof of Theorem srgidmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 13971	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		srgidm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbasg 13929	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
5	4	eleq2d 2299	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
6	5	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
10	7, 8, 9	mndlrid 13507	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
11	2, 6, 10	syl2an2r 597	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
12		srgidm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12	mgpplusgg 13927	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
14		srgidm.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
15	1, 14	ringidvalg 13964	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqidd 2230	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑋 = 𝑋)
17	13, 15, 16	oveq123d 6034	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ( 1 · 𝑋) = ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
18	17	eqeq1d 2238	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋))
19	13, 16, 15	oveq123d 6034	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑋 · 1 ) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
20	19	eqeq1d 2238	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑋 · 1 ) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
21	18, 20	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
22	21	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
23	11, 22	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  ._rcmulr 13151  0_gc0g 13329  Mndcmnd 13489  mulGrpcmgp 13923  1_rcur 13962  SRingcsrg 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-srg 13967

This theorem is referenced by:  srglidm  13982  srgridm  13983