Theorem srgidmlem 14055

Description: Lemma for srglidm 14056 and srgridm 14057. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgidmlem	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Proof of Theorem srgidmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 14045	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		srgidm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbasg 14003	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
5	4	eleq2d 2301	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
6	5	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
10	7, 8, 9	mndlrid 13580	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
11	2, 6, 10	syl2an2r 599	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
12		srgidm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12	mgpplusgg 14001	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
14		srgidm.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
15	1, 14	ringidvalg 14038	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqidd 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑋 = 𝑋)
17	13, 15, 16	oveq123d 6049	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ( 1 · 𝑋) = ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
18	17	eqeq1d 2240	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋))
19	13, 16, 15	oveq123d 6049	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑋 · 1 ) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
20	19	eqeq1d 2240	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑋 · 1 ) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
21	18, 20	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
22	21	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
23	11, 22	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  ._rcmulr 13224  0_gc0g 13402  Mndcmnd 13562  mulGrpcmgp 13997  1_rcur 14036  SRingcsrg 14040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-srg 14041

This theorem is referenced by:  srglidm  14056  srgridm  14057