Theorem srgidmlem 13682

Description: Lemma for srglidm 13683 and srgridm 13684. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgidmlem	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Proof of Theorem srgidmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 13672	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		srgidm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbasg 13630	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
5	4	eleq2d 2274	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
6	5	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
10	7, 8, 9	mndlrid 13208	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
11	2, 6, 10	syl2an2r 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
12		srgidm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12	mgpplusgg 13628	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
14		srgidm.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
15	1, 14	ringidvalg 13665	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqidd 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑋 = 𝑋)
17	13, 15, 16	oveq123d 5964	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ( 1 · 𝑋) = ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
18	17	eqeq1d 2213	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋))
19	13, 16, 15	oveq123d 5964	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑋 · 1 ) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
20	19	eqeq1d 2213	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑋 · 1 ) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
21	18, 20	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
22	21	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
23	11, 22	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  Basecbs 12774  +_gcplusg 12851  ._rcmulr 12852  0_gc0g 13030  Mndcmnd 13190  mulGrpcmgp 13624  1_rcur 13663  SRingcsrg 13667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-mgp 13625  df-ur 13664  df-srg 13668

This theorem is referenced by:  srglidm  13683  srgridm  13684