Theorem srgidmlem 14366

Description: Lemma for srglidm 14367 and srgridm 14368. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
srgidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgidmlem	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

Proof of Theorem srgidmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 14356	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		srgidm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbasg 14308	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
5	4	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
6	5	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
10	7, 8, 9	mndlrid 13800	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
11	2, 6, 10	syl2an2r 603	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
12		srgidm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12	mgpplusgg 14305	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
14		srgidm.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
15	1, 14	ringidvalg 14348	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑋 = 𝑋)
17	13, 15, 16	oveq123d 6106	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ( 1 · 𝑋) = ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
18	17	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ↔ ((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋))
19	13, 16, 15	oveq123d 6106	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑋 · 1 ) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
20	19	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑋 · 1 ) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋))
21	18, 20	anbi12d 477	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
22	21	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋) ↔ (((0g‘(mulGrp‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = 𝑋)))
23	11, 22	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404  +_gcplusg 13484  ._rcmulr 13485  0_gc0g 13663  Mndcmnd 13782  mulGrpcmgp 14301  1_rcur 14346  SRingcsrg 14351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-srg 14352

This theorem is used by:  srglidm  14367  srgridm  14368