Theorem ssalel 3172

Description: Alternate definition of the subclass relationship between two classes. Definition 5.9 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
ssalel	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ssalel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss 3171	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵))
2		df-in 3163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)}
3	2	eqeq2i 2207	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝐴 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)})
4		abeq2 2305	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
5	1, 3, 4	3bitri 206	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
6		pm4.71 389	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
7	6	albii 1484	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
8	5, 7	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  dfss3  3173  dfss2f  3175  ssel  3178  ssriv  3188  ssrdv  3190  sstr2  3191  eqss  3199  nssr  3244  rabss2  3267  ssconb  3297  ssequn1  3334  unss  3338  ssin  3386  ssddif  3398  reldisj  3503  ssdif0im  3516  inssdif0im  3519  ssundifim  3535  sbcssg  3560  pwss  3622  snssOLD  3749  snssb  3756  snsssn  3792  ssuni  3862  unissb  3870  intss  3896  iunss  3958  dftr2  4134  axpweq  4205  axpow2  4210  ssextss  4254  ordunisuc2r  4551  setind  4576  zfregfr  4611  tfi  4619  ssrel  4752  ssrel2  4754  ssrelrel  4764  reliun  4785  relop  4817  issref  5053  funimass4  5612  isprm2  12295  bj-inf2vnlem3  15628  bj-inf2vnlem4  15629