Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm2 GIF version

Theorem isprm2 11835
 Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nprm 11832 . . . . 5 ¬ 1 ∈ ℙ
2 eleq1 2203 . . . . . 6 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
32biimpcd 158 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 1 → 1 ∈ ℙ))
41, 3mtoi 654 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 1)
54neqned 2316 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
65pm4.71i 389 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1))
7 isprm 11827 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o))
8 isprm2lem 11834 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
9 eqss 3117 . . . . . . . . . . 11 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃}))
109imbi2i 225 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})))
11 1idssfct 11833 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
12 jcab 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})))
1311, 12mpbiran2 926 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1410, 13bitri 183 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1514pm5.74ri 180 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1615adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
178, 16bitrd 187 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1817expcom 115 . . . . 5 (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
1918pm5.32d 446 . . . 4 (𝑃 ≠ 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
207, 19syl5bb 191 . . 3 (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
2120pm5.32ri 451 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1))
22 ancom 264 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
23 anass 399 . . . 4 (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
2422, 23bitr4i 186 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
25 ancom 264 . . . . 5 ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
26 eluz2b3 9426 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
2725, 26bitr4i 186 . . . 4 ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2827anbi1i 454 . . 3 (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
29 dfss2 3091 . . . . 5 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}))
30 breq1 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛𝑃𝑧𝑃))
3130elrab 2844 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃))
32 vex 2692 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3332elpr 3553 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {1, 𝑃} ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
3431, 33imbi12i 238 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
35 impexp 261 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3634, 35bitri 183 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3736albii 1447 . . . . . 6 (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
38 df-ral 2422 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3937, 38bitr4i 186 . . . . 5 (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
4029, 39bitri 183 . . . 4 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
4140anbi2i 453 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
4224, 28, 413bitri 205 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
436, 21, 423bitri 205 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  ∀wal 1330   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∀wral 2417  {crab 2421   ⊆ wss 3076  {cpr 3533   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  2oc2o 6315   ≈ cen 6640  1c1 7646  ℕcn 8745  2c2 8796  ℤ≥cuz 9351   ∥ cdvds 11530  ℙcprime 11825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-mulrcl 7744  ax-addcom 7745  ax-mulcom 7746  ax-addass 7747  ax-mulass 7748  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-1rid 7752  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-precex 7755  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761  ax-pre-mulgt0 7762  ax-pre-mulext 7763  ax-arch 7764  ax-caucvg 7765 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-2o 6322  df-er 6437  df-en 6643  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-reap 8362  df-ap 8369  df-div 8458  df-inn 8746  df-2 8804  df-3 8805  df-4 8806  df-n0 9003  df-z 9080  df-uz 9352  df-q 9440  df-rp 9472  df-seqfrec 10251  df-exp 10325  df-cj 10647  df-re 10648  df-im 10649  df-rsqrt 10803  df-abs 10804  df-dvds 11531  df-prm 11826 This theorem is referenced by:  isprm3  11836  isprm4  11837  dvdsprime  11840  coprm  11859  isprm6  11862
 Copyright terms: Public domain W3C validator