Theorem isprm2 12111

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 12108	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
2		eleq1 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
3	2	biimpcd 159	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 1 → 1 ∈ ℙ))
4	1, 3	mtoi 664	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 1)
5	4	neqned 2354	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
6	5	pm4.71i 391	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1))
7		isprm 12103	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
8		isprm2lem 12110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
9		eqss 3170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃}))
10	9	imbi2i 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})))
11		1idssfct 12109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
12		jcab 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})))
13	11, 12	mpbiran2 941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
14	10, 13	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
15	14	pm5.74ri 181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
17	8, 16	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
18	17	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
19	18	pm5.32d 450	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
20	7, 19	bitrid 192	. . 3 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
21	20	pm5.32ri 455	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1))
22		ancom 266	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
23		anass 401	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
24	22, 23	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
25		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
26		eluz2b3 9602	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
27	25, 26	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
28	27	anbi1i 458	. . 3 ⊢ (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
29		dfss2 3144	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}))
30		breq1 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
31	30	elrab 2893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃))
32		vex 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
33	32	elpr 3613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {1, 𝑃} ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
34	31, 33	imbi12i 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
35		impexp 263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
36	34, 35	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
37	36	albii 1470	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
38		df-ral 2460	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
39	37, 38	bitr4i 187	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
40	29, 39	bitri 184	. . . 4 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
41	40	anbi2i 457	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
42	24, 28, 41	3bitri 206	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
43	6, 21, 42	3bitri 206	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  {crab 2459   ⊆ wss 3129  {cpr 3593   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  2_oc2o 6410   ≈ cen 6737  1c1 7811  ℕcn 8917  2c2 8968  ℤ_≥cuz 9526   ∥ cdvds 11789  ℙcprime 12101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-dvds 11790  df-prm 12102

This theorem is referenced by:  isprm3  12112  isprm4  12113  dvdsprime  12116  coprm  12138  isprm6  12141  infpn2  12451