Theorem isprm2 12285

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 12282	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
2		eleq1 2259	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
3	2	biimpcd 159	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 1 → 1 ∈ ℙ))
4	1, 3	mtoi 665	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 1)
5	4	neqned 2374	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
6	5	pm4.71i 391	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1))
7		isprm 12277	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
8		isprm2lem 12284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
9		eqss 3198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃}))
10	9	imbi2i 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})))
11		1idssfct 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
12		jcab 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})))
13	11, 12	mpbiran2 943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
14	10, 13	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
15	14	pm5.74ri 181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
17	8, 16	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
18	17	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
19	18	pm5.32d 450	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
20	7, 19	bitrid 192	. . 3 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
21	20	pm5.32ri 455	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1))
22		ancom 266	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
23		anass 401	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
24	22, 23	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
25		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
26		eluz2b3 9678	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
27	25, 26	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
28	27	anbi1i 458	. . 3 ⊢ (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
29		dfss2 3172	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}))
30		breq1 4036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
31	30	elrab 2920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃))
32		vex 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
33	32	elpr 3643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {1, 𝑃} ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
34	31, 33	imbi12i 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
35		impexp 263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
36	34, 35	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
37	36	albii 1484	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
38		df-ral 2480	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
39	37, 38	bitr4i 187	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
40	29, 39	bitri 184	. . . 4 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
41	40	anbi2i 457	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
42	24, 28, 41	3bitri 206	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
43	6, 21, 42	3bitri 206	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  {crab 2479   ⊆ wss 3157  {cpr 3623   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  2_oc2o 6468   ≈ cen 6797  1c1 7880  ℕcn 8990  2c2 9041  ℤ_≥cuz 9601   ∥ cdvds 11952  ℙcprime 12275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-prm 12276

This theorem is referenced by:  isprm3  12286  isprm4  12287  dvdsprime  12290  coprm  12312  isprm6  12315  infpn2  12673  znidomb  14214  perfectlem2  15236