Theorem clsss2 22935

Description: If a subset is included in a closed set, so is the subset's closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss2	⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem clsss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 22889	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
3		clscld.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	cldss 22892	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐶 ⊆ 𝑋)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → 𝐶 ⊆ 𝑋)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → 𝑆 ⊆ 𝐶)
7	3	clsss 22917	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐶))
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐶))
9		cldcls 22905	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝐶) = 𝐶)
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝐶) = 𝐶)
11	8, 10	sseqtrd 3980	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6499  Topctop 22756  Clsdccld 22879  clsccl 22881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-top 22757  df-cld 22882  df-cls 22884

This theorem is referenced by:  elcls  22936  restcls  23044  cncls2i  23133  isnrm3  23222  lpcls  23227  isreg2  23240  dnsconst  23241  hauscmplem  23269  txcls  23467  ptclsg  23478  kqreglem1  23604  kqreglem2  23605  kqnrmlem1  23606  kqnrmlem2  23607  blcls  24370  clsocv  25126  resscdrg  25234  cldregopn  36292  seposep  48887