Theorem 2arymaptfv 49414

Description: The value of the mapping of binary (endo)functions. (Contributed by AV, 21-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptfv	⊢ (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹,𝑥,𝑦   ℎ,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)

Proof of Theorem 2arymaptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6882	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
2	1	mpoeq3dv 7491	. 2 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
3		2arymaptf.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0..^2) = (0..^2)
5	4	naryrcl 49394	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
6		mpoexga 8075	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
7	6	anidms 576	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
8	5, 7	simpl2im 512	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
9	2, 3, 8	fvmpt3 6996	1 ⊢ (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {cpr 4592  ⟨cop 4596   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11101  1c1 11102  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ..^cfzo 13684  -aryF cnaryf 49389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-naryf 49390

This theorem is referenced by:  2arymaptf1  49416