Theorem 2arymaptfv 45415

Description: The value of the mapping of binary (endo)functions. (Contributed by AV, 21-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptfv	⊢ (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹,𝑥,𝑦   ℎ,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)

Proof of Theorem 2arymaptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6650	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
2	1	mpoeq3dv 7220	. 2 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
3		2arymaptf.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
4		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (0..^2) = (0..^2)
5	4	naryrcl 45395	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
6		mpoexga 7773	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
7	6	anidms 571	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
8	5, 7	simpl2im 508	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
9	2, 3, 8	fvmpt3 6756	1 ⊢ (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407  {cpr 4517  ⟨cop 4521   ↦ cmpt 5105  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   ∈ cmpo 7145  0cc0 10560  1c1 10561  2c2 11714  ℕ₀cn0 11919  ..^cfzo 13067  -aryF cnaryf 45390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-id 5423  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-naryf 45391

This theorem is referenced by:  2arymaptf1  45417