Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymaptfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymaptfv 45997
Description: The value of the mapping of binary (endo)functions. (Contributed by AV, 21-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arymaptf.h 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Assertion
Ref Expression
2arymaptfv (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻𝐹) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Distinct variable groups:   ,𝐹,𝑥,𝑦   ,𝑋,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,)

Proof of Theorem 2arymaptfv
StepHypRef Expression
1 fveq1 6773 . . 3 ( = 𝐹 → (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
21mpoeq3dv 7354 . 2 ( = 𝐹 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
3 2arymaptf.h . 2 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
4 eqid 2738 . . . 4 (0..^2) = (0..^2)
54naryrcl 45977 . . 3 ( ∈ (2-aryF 𝑋) → (2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ V))
6 mpoexga 7918 . . . 4 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
76anidms 567 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
85, 7simpl2im 504 . 2 ( ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
92, 3, 8fvmpt3 6879 1 (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻𝐹) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  {cpr 4563  cop 4567  cmpt 5157  cfv 6433  (class class class)co 7275  cmpo 7277  0cc0 10871  1c1 10872  2c2 12028  0cn0 12233  ..^cfzo 13382  -aryF cnaryf 45972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-naryf 45973
This theorem is referenced by:  2arymaptf1  45999
  Copyright terms: Public domain W3C validator