Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arymaptfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arymaptfv 48500
Description: The value of the mapping of binary (endo)functions. (Contributed by AV, 21-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arymaptf.h 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Assertion
Ref Expression
2arymaptfv (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻𝐹) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Distinct variable groups:   ,𝐹,𝑥,𝑦   ,𝑋,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,)

Proof of Theorem 2arymaptfv
StepHypRef Expression
1 fveq1 6905 . . 3 ( = 𝐹 → (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
21mpoeq3dv 7511 . 2 ( = 𝐹 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
3 2arymaptf.h . 2 𝐻 = ( ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
4 eqid 2734 . . . 4 (0..^2) = (0..^2)
54naryrcl 48480 . . 3 ( ∈ (2-aryF 𝑋) → (2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ V))
6 mpoexga 8100 . . . 4 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
76anidms 566 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
85, 7simpl2im 503 . 2 ( ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
92, 3, 8fvmpt3 7019 1 (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻𝐹) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  {cpr 4632  cop 4636  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  0cc0 11152  1c1 11153  2c2 12318  0cn0 12523  ..^cfzo 13690  -aryF cnaryf 48475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-naryf 48476
This theorem is referenced by:  2arymaptf1  48502
  Copyright terms: Public domain W3C validator