Theorem 2arymaptfv 48779

Description: The value of the mapping of binary (endo)functions. (Contributed by AV, 21-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arymaptf.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Assertion

Ref	Expression
2arymaptfv	⊢ (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹,𝑥,𝑦   ℎ,𝑋,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦,ℎ)

Proof of Theorem 2arymaptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6829	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
2	1	mpoeq3dv 7433	. 2 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
3		2arymaptf.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0..^2) = (0..^2)
5	4	naryrcl 48759	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
6		mpoexga 8017	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
7	6	anidms 566	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
8	5, 7	simpl2im 503	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})) ∈ V)
9	2, 3, 8	fvmpt3 6941	1 ⊢ (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  {cpr 4579  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ∈ cmpo 7356  0cc0 11015  1c1 11016  2c2 12189  ℕ₀cn0 12390  ..^cfzo 13558  -aryF cnaryf 48754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-naryf 48755

This theorem is referenced by:  2arymaptf1  48781