Theorem 2arympt 47422

Description: A binary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arympt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))

Assertion

Ref	Expression
2arympt	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 2arympt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
2		elmapi 8845	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → 𝑥:{0, 1}⟶𝑋)
3		c0ex 11212	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
4	3	prid1 4765	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → 0 ∈ {0, 1})
6	2, 5	ffvelcdmd 7086	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → (𝑥‘0) ∈ 𝑋)
7	6	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → (𝑥‘0) ∈ 𝑋)
8		1ex 11214	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
9	8	prid2 4766	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → 1 ∈ {0, 1})
11	2, 10	ffvelcdmd 7086	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → (𝑥‘1) ∈ 𝑋)
12	11	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → (𝑥‘1) ∈ 𝑋)
13	1, 7, 12	fovcdmd 7581	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)) ∈ 𝑋)
14		2arympt.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
15	13, 14	fmptd 7114	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → 𝐹:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)
16		2aryfvalel 47420	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
17	16	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
18	15, 17	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cpr 4629   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  -aryF cnaryf 47399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-naryf 47400

This theorem is referenced by:  2arymaptfo  47427