Theorem 2arympt 48680

Description: A binary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
2arympt.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))

Assertion

Ref	Expression
2arympt	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 2arympt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
2		elmapi 8773	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → 𝑥:{0, 1}⟶𝑋)
3		c0ex 11103	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
4	3	prid1 4715	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → 0 ∈ {0, 1})
6	2, 5	ffvelcdmd 7018	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → (𝑥‘0) ∈ 𝑋)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → (𝑥‘0) ∈ 𝑋)
8		1ex 11105	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
9	8	prid2 4716	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → 1 ∈ {0, 1})
11	2, 10	ffvelcdmd 7018	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) → (𝑥‘1) ∈ 𝑋)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → (𝑥‘1) ∈ 𝑋)
13	1, 7, 12	fovcdmd 7518	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1})) → ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)) ∈ 𝑋)
14		2arympt.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋 ↑m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
15	13, 14	fmptd 7047	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → 𝐹:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋)
16		2aryfvalel 48678	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m {0, 1})⟶𝑋))
18	15, 17	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cpr 4578   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  0cc0 11003  1c1 11004  2c2 12177  -aryF cnaryf 48657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-naryf 48658

This theorem is referenced by:  2arymaptfo  48685