Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2arympt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2arympt 48498
Description: A binary (endo)function in maps-to notation. (Contributed by AV, 20-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
2arympt.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
Assertion
Ref Expression
2arympt ((𝑋𝑉𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 2arympt
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1})) → 𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
2 elmapi 8887 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) → 𝑥:{0, 1}⟶𝑋)
3 c0ex 11252 . . . . . . . 8 0 ∈ V
43prid1 4766 . . . . . . 7 0 ∈ {0, 1}
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) → 0 ∈ {0, 1})
62, 5ffvelcdmd 7104 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) → (𝑥‘0) ∈ 𝑋)
76adantl 481 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1})) → (𝑥‘0) ∈ 𝑋)
8 1ex 11254 . . . . . . . 8 1 ∈ V
98prid2 4767 . . . . . . 7 1 ∈ {0, 1}
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) → 1 ∈ {0, 1})
112, 10ffvelcdmd 7104 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) → (𝑥‘1) ∈ 𝑋)
1211adantl 481 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1})) → (𝑥‘1) ∈ 𝑋)
131, 7, 12fovcdmd 7604 . . 3 (((𝑋𝑉𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1})) → ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)) ∈ 𝑋)
14 2arympt.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑋m {0, 1}) ↦ ((𝑥‘0)𝑂(𝑥‘1)))
1513, 14fmptd 7133 . 2 ((𝑋𝑉𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → 𝐹:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋)
16 2aryfvalel 48496 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋))
1716adantr 480 . 2 ((𝑋𝑉𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m {0, 1})⟶𝑋))
1815, 17mpbird 257 1 ((𝑋𝑉𝑂:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (2-aryF 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {cpr 4632  cmpt 5230   × cxp 5686  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  0cc0 11152  1c1 11153  2c2 12318  -aryF cnaryf 48475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-naryf 48476
This theorem is referenced by:  2arymaptfo  48503
  Copyright terms: Public domain W3C validator