Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnne2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnne2N 36609
Description: Condition implying that two intersecting lines are different. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnne.l = (le‘𝐾)
2lnne.j = (join‘𝐾)
2lnne.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnne2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴) ∧ ¬ 𝑃 (𝑅 𝑄)) → (𝑅 𝑃) ≠ (𝑅 𝑄))

Proof of Theorem 2llnne2N
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simprr 772 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
3 simprl 770 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 2lnne.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
5 2lnne.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
6 2lnne.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 6hlatlej2 36577 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → 𝑃 (𝑅 𝑃))
81, 2, 3, 7syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 (𝑅 𝑃))
9 breq2 5053 . . . 4 ((𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄) → (𝑃 (𝑅 𝑃) ↔ 𝑃 (𝑅 𝑄)))
108, 9syl5ibcom 248 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄) → 𝑃 (𝑅 𝑄)))
1110necon3bd 3027 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → (¬ 𝑃 (𝑅 𝑄) → (𝑅 𝑃) ≠ (𝑅 𝑄)))
12113impia 1114 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴) ∧ ¬ 𝑃 (𝑅 𝑄)) → (𝑅 𝑃) ≠ (𝑅 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013   class class class wbr 5049  cfv 6338  (class class class)co 7140  lecple 16563  joincjn 17545  Atomscatm 36464  HLchlt 36551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-lub 17575  df-join 17577  df-lat 17647  df-ats 36468  df-atl 36499  df-cvlat 36523  df-hlat 36552
This theorem is referenced by:  2llnneN  36610
  Copyright terms: Public domain W3C validator