Theorem 2llnne2N 40608

Description: Condition implying that two intersecting lines are different. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lnne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2lnne.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lnne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnne2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem 2llnne2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		2lnne.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		2lnne.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		2lnne.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	hlatlej2 40576	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
9		breq2 5110	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
10	8, 9	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
11	10	necon3bd 2973	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄)))
12	11	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  lecple 17450  joincjn 18500  Atomscatm 40463  HLchlt 40550

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-lub 18533  df-join 18535  df-lat 18621  df-ats 40467  df-atl 40498  df-cvlat 40522  df-hlat 40551

This theorem is used by:  2llnneN  40609