Theorem 2llnne2N 38921

Description: Condition implying that two intersecting lines are different. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lnne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2lnne.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lnne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnne2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem 2llnne2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		2lnne.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		2lnne.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		2lnne.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	hlatlej2 38888	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
9		breq2 5156	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
10	8, 9	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
11	10	necon3bd 2951	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄)))
12	11	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  lecple 17249  joincjn 18312  Atomscatm 38775  HLchlt 38862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-lub 18347  df-join 18349  df-lat 18433  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863

This theorem is referenced by:  2llnneN  38922