Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnne2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnne2N 36609
 Description: Condition implying that two intersecting lines are different. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnne.l = (le‘𝐾)
2lnne.j = (join‘𝐾)
2lnne.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnne2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴) ∧ ¬ 𝑃 (𝑅 𝑄)) → (𝑅 𝑃) ≠ (𝑅 𝑄))

Proof of Theorem 2llnne2N
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simprr 772 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
3 simprl 770 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 2lnne.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
5 2lnne.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
6 2lnne.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 6hlatlej2 36577 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → 𝑃 (𝑅 𝑃))
81, 2, 3, 7syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 (𝑅 𝑃))
9 breq2 5053 . . . 4 ((𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄) → (𝑃 (𝑅 𝑃) ↔ 𝑃 (𝑅 𝑄)))
108, 9syl5ibcom 248 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄) → 𝑃 (𝑅 𝑄)))
1110necon3bd 3027 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → (¬ 𝑃 (𝑅 𝑄) → (𝑅 𝑃) ≠ (𝑅 𝑄)))
12113impia 1114 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴) ∧ ¬ 𝑃 (𝑅 𝑄)) → (𝑅 𝑃) ≠ (𝑅 𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013   class class class wbr 5049  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  lecple 16563  joincjn 17545  Atomscatm 36464  HLchlt 36551 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-lub 17575  df-join 17577  df-lat 17647  df-ats 36468  df-atl 36499  df-cvlat 36523  df-hlat 36552 This theorem is referenced by:  2llnneN  36610
 Copyright terms: Public domain W3C validator