Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnne2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnne2N 38913
Description: Condition implying that two intersecting lines are different. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnne.l = (le‘𝐾)
2lnne.j = (join‘𝐾)
2lnne.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnne2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴) ∧ ¬ 𝑃 (𝑅 𝑄)) → (𝑅 𝑃) ≠ (𝑅 𝑄))

Proof of Theorem 2llnne2N
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simprr 771 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
3 simprl 769 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 2lnne.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
5 2lnne.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
6 2lnne.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 6hlatlej2 38880 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → 𝑃 (𝑅 𝑃))
81, 2, 3, 7syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 (𝑅 𝑃))
9 breq2 5156 . . . 4 ((𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄) → (𝑃 (𝑅 𝑃) ↔ 𝑃 (𝑅 𝑄)))
108, 9syl5ibcom 244 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄) → 𝑃 (𝑅 𝑄)))
1110necon3bd 2951 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → (¬ 𝑃 (𝑅 𝑄) → (𝑅 𝑃) ≠ (𝑅 𝑄)))
12113impia 1114 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴) ∧ ¬ 𝑃 (𝑅 𝑄)) → (𝑅 𝑃) ≠ (𝑅 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  lecple 17247  joincjn 18310  Atomscatm 38767  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-lub 18345  df-join 18347  df-lat 18431  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855
This theorem is referenced by:  2llnneN  38914
  Copyright terms: Public domain W3C validator