Theorem hlatlej2 39377

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18494 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 39376	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1127	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 39369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5171	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Atomscatm 39264  HLchlt 39351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-lub 18391  df-join 18393  df-lat 18477  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352

This theorem is referenced by:  2llnne2N  39410  cvrat3  39444  cvrat4  39445  hlatexch3N  39482  hlatexch4  39483  dalem3  39666  dalem25  39700  lnatexN  39781  lncmp  39785  2llnma3r  39790  paddasslem5  39826  dalawlem3  39875  dalawlem6  39878  dalawlem7  39879  dalawlem12  39884  lhp2atne  40036  lhp2at0ne  40038  4atexlemunv  40068  cdlemc2  40194  cdlemc5  40197  cdleme3h  40237  cdleme7  40251  cdleme9  40255  cdleme11c  40263  cdleme11dN  40264  cdleme11j  40269  cdleme16b  40281  cdleme17b  40289  cdleme18a  40293  cdleme18b  40294  cdleme18c  40295  cdleme19a  40305  cdleme20d  40314  cdleme20j  40320  cdleme21ct  40331  cdleme22a  40342  cdleme22e  40346  cdleme22eALTN  40347  cdleme35b  40452  cdlemg9a  40634  cdlemg12a  40645  cdlemg13a  40653  cdlemg17a  40663  cdlemg17g  40669  cdlemg18c  40682  cdlemg33b0  40703  cdlemg46  40737  cdlemh1  40817  cdlemh  40819  cdlemk4  40836  cdlemki  40843  cdlemksv2  40849  cdlemk12  40852  cdlemk15  40857  cdlemk12u  40874  cdlemkid1  40924  dia2dimlem1  41066  dia2dimlem3  41068  cdlemn10  41208  dihjatcclem1  41420