Theorem hlatlej2 40074

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18505 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 40073	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1142	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 40066	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5143	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  lecple 17317  joincjn 18367  Atomscatm 39961  HLchlt 40048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-lub 18400  df-join 18402  df-lat 18488  df-ats 39965  df-atl 39996  df-cvlat 40020  df-hlat 40049

This theorem is referenced by:  2llnne2N  40106  cvrat3  40140  cvrat4  40141  hlatexch3N  40178  hlatexch4  40179  dalem3  40362  dalem25  40396  lnatexN  40477  lncmp  40481  2llnma3r  40486  paddasslem5  40522  dalawlem3  40571  dalawlem6  40574  dalawlem7  40575  dalawlem12  40580  lhp2atne  40732  lhp2at0ne  40734  4atexlemunv  40764  cdlemc2  40890  cdlemc5  40893  cdleme3h  40933  cdleme7  40947  cdleme9  40951  cdleme11c  40959  cdleme11dN  40960  cdleme11j  40965  cdleme16b  40977  cdleme17b  40985  cdleme18a  40989  cdleme18b  40990  cdleme18c  40991  cdleme19a  41001  cdleme20d  41010  cdleme20j  41016  cdleme21ct  41027  cdleme22a  41038  cdleme22e  41042  cdleme22eALTN  41043  cdleme35b  41148  cdlemg9a  41330  cdlemg12a  41341  cdlemg13a  41349  cdlemg17a  41359  cdlemg17g  41365  cdlemg18c  41378  cdlemg33b0  41399  cdlemg46  41433  cdlemh1  41513  cdlemh  41515  cdlemk4  41532  cdlemki  41539  cdlemksv2  41545  cdlemk12  41548  cdlemk15  41553  cdlemk12u  41570  cdlemkid1  41620  dia2dimlem1  41762  dia2dimlem3  41764  cdlemn10  41904  dihjatcclem1  42116