Theorem hlatlej2 38549

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18406 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 38548	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1124	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 38541	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5175	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  lecple 17208  joincjn 18268  Atomscatm 38436  HLchlt 38523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-lub 18303  df-join 18305  df-lat 18389  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524

This theorem is referenced by:  2llnne2N  38582  cvrat3  38616  cvrat4  38617  hlatexch3N  38654  hlatexch4  38655  dalem3  38838  dalem25  38872  lnatexN  38953  lncmp  38957  2llnma3r  38962  paddasslem5  38998  dalawlem3  39047  dalawlem6  39050  dalawlem7  39051  dalawlem12  39056  lhp2atne  39208  lhp2at0ne  39210  4atexlemunv  39240  cdlemc2  39366  cdlemc5  39369  cdleme3h  39409  cdleme7  39423  cdleme9  39427  cdleme11c  39435  cdleme11dN  39436  cdleme11j  39441  cdleme16b  39453  cdleme17b  39461  cdleme18a  39465  cdleme18b  39466  cdleme18c  39467  cdleme19a  39477  cdleme20d  39486  cdleme20j  39492  cdleme21ct  39503  cdleme22a  39514  cdleme22e  39518  cdleme22eALTN  39519  cdleme35b  39624  cdlemg9a  39806  cdlemg12a  39817  cdlemg13a  39825  cdlemg17a  39835  cdlemg17g  39841  cdlemg18c  39854  cdlemg33b0  39875  cdlemg46  39909  cdlemh1  39989  cdlemh  39991  cdlemk4  40008  cdlemki  40015  cdlemksv2  40021  cdlemk12  40024  cdlemk15  40029  cdlemk12u  40046  cdlemkid1  40096  dia2dimlem1  40238  dia2dimlem3  40240  cdlemn10  40380  dihjatcclem1  40592