Theorem hlatlej2 40576

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18638 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 40575	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1144	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 40568	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5136	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  lecple 17450  joincjn 18500  Atomscatm 40463  HLchlt 40550

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-lub 18533  df-join 18535  df-lat 18621  df-ats 40467  df-atl 40498  df-cvlat 40522  df-hlat 40551

This theorem is used by:  2llnne2N  40608  cvrat3  40642  cvrat4  40643  hlatexch3N  40680  hlatexch4  40681  dalem3  40864  dalem25  40898  lnatexN  40979  lncmp  40983  2llnma3r  40988  paddasslem5  41024  dalawlem3  41073  dalawlem6  41076  dalawlem7  41077  dalawlem12  41082  lhp2atne  41234  lhp2at0ne  41236  4atexlemunv  41266  cdlemc2  41392  cdlemc5  41395  cdleme3h  41435  cdleme7  41449  cdleme9  41453  cdleme11c  41461  cdleme11dN  41462  cdleme11j  41467  cdleme16b  41479  cdleme17b  41487  cdleme18a  41491  cdleme18b  41492  cdleme18c  41493  cdleme19a  41503  cdleme20d  41512  cdleme20j  41518  cdleme21ct  41529  cdleme22a  41540  cdleme22e  41544  cdleme22eALTN  41545  cdleme35b  41650  cdlemg9a  41832  cdlemg12a  41843  cdlemg13a  41851  cdlemg17a  41861  cdlemg17g  41867  cdlemg18c  41880  cdlemg33b0  41901  cdlemg46  41935  cdlemh1  42015  cdlemh  42017  cdlemk4  42034  cdlemki  42041  cdlemksv2  42047  cdlemk12  42050  cdlemk15  42055  cdlemk12u  42072  cdlemkid1  42122  dia2dimlem1  42264  dia2dimlem3  42266  cdlemn10  42406  dihjatcclem1  42618