Theorem hlatlej2 40210

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18529 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 40209	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1144	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 40202	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5141	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  lecple 17341  joincjn 18391  Atomscatm 40097  HLchlt 40184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-lub 18424  df-join 18426  df-lat 18512  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185

This theorem is used by:  2llnne2N  40242  cvrat3  40276  cvrat4  40277  hlatexch3N  40314  hlatexch4  40315  dalem3  40498  dalem25  40532  lnatexN  40613  lncmp  40617  2llnma3r  40622  paddasslem5  40658  dalawlem3  40707  dalawlem6  40710  dalawlem7  40711  dalawlem12  40716  lhp2atne  40868  lhp2at0ne  40870  4atexlemunv  40900  cdlemc2  41026  cdlemc5  41029  cdleme3h  41069  cdleme7  41083  cdleme9  41087  cdleme11c  41095  cdleme11dN  41096  cdleme11j  41101  cdleme16b  41113  cdleme17b  41121  cdleme18a  41125  cdleme18b  41126  cdleme18c  41127  cdleme19a  41137  cdleme20d  41146  cdleme20j  41152  cdleme21ct  41163  cdleme22a  41174  cdleme22e  41178  cdleme22eALTN  41179  cdleme35b  41284  cdlemg9a  41466  cdlemg12a  41477  cdlemg13a  41485  cdlemg17a  41495  cdlemg17g  41501  cdlemg18c  41514  cdlemg33b0  41535  cdlemg46  41569  cdlemh1  41649  cdlemh  41651  cdlemk4  41668  cdlemki  41675  cdlemksv2  41681  cdlemk12  41684  cdlemk15  41689  cdlemk12u  41706  cdlemkid1  41756  dia2dimlem1  41898  dia2dimlem3  41900  cdlemn10  42040  dihjatcclem1  42252