Theorem hlatlej2 36527

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 17671 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 36526	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 36519	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5094	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  lecple 16572  joincjn 17554  Atomscatm 36414  HLchlt 36501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-lub 17584  df-join 17586  df-lat 17656  df-ats 36418  df-atl 36449  df-cvlat 36473  df-hlat 36502

This theorem is referenced by:  2llnne2N  36559  cvrat3  36593  cvrat4  36594  hlatexch3N  36631  hlatexch4  36632  dalem3  36815  dalem25  36849  lnatexN  36930  lncmp  36934  2llnma3r  36939  paddasslem5  36975  dalawlem3  37024  dalawlem6  37027  dalawlem7  37028  dalawlem12  37033  lhp2atne  37185  lhp2at0ne  37187  4atexlemunv  37217  cdlemc2  37343  cdlemc5  37346  cdleme3h  37386  cdleme7  37400  cdleme9  37404  cdleme11c  37412  cdleme11dN  37413  cdleme11j  37418  cdleme16b  37430  cdleme17b  37438  cdleme18a  37442  cdleme18b  37443  cdleme18c  37444  cdleme19a  37454  cdleme20d  37463  cdleme20j  37469  cdleme21ct  37480  cdleme22a  37491  cdleme22e  37495  cdleme22eALTN  37496  cdleme35b  37601  cdlemg9a  37783  cdlemg12a  37794  cdlemg13a  37802  cdlemg17a  37812  cdlemg17g  37818  cdlemg18c  37831  cdlemg33b0  37852  cdlemg46  37886  cdlemh1  37966  cdlemh  37968  cdlemk4  37985  cdlemki  37992  cdlemksv2  37998  cdlemk12  38001  cdlemk15  38006  cdlemk12u  38023  cdlemkid1  38073  dia2dimlem1  38215  dia2dimlem3  38217  cdlemn10  38357  dihjatcclem1  38569