Theorem hlatlej2 37390

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18167 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 37389	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1125	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 37382	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5102	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  lecple 16969  joincjn 18029  Atomscatm 37277  HLchlt 37364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-lub 18064  df-join 18066  df-lat 18150  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365

This theorem is referenced by:  2llnne2N  37422  cvrat3  37456  cvrat4  37457  hlatexch3N  37494  hlatexch4  37495  dalem3  37678  dalem25  37712  lnatexN  37793  lncmp  37797  2llnma3r  37802  paddasslem5  37838  dalawlem3  37887  dalawlem6  37890  dalawlem7  37891  dalawlem12  37896  lhp2atne  38048  lhp2at0ne  38050  4atexlemunv  38080  cdlemc2  38206  cdlemc5  38209  cdleme3h  38249  cdleme7  38263  cdleme9  38267  cdleme11c  38275  cdleme11dN  38276  cdleme11j  38281  cdleme16b  38293  cdleme17b  38301  cdleme18a  38305  cdleme18b  38306  cdleme18c  38307  cdleme19a  38317  cdleme20d  38326  cdleme20j  38332  cdleme21ct  38343  cdleme22a  38354  cdleme22e  38358  cdleme22eALTN  38359  cdleme35b  38464  cdlemg9a  38646  cdlemg12a  38657  cdlemg13a  38665  cdlemg17a  38675  cdlemg17g  38681  cdlemg18c  38694  cdlemg33b0  38715  cdlemg46  38749  cdlemh1  38829  cdlemh  38831  cdlemk4  38848  cdlemki  38855  cdlemksv2  38861  cdlemk12  38864  cdlemk15  38869  cdlemk12u  38886  cdlemkid1  38936  dia2dimlem1  39078  dia2dimlem3  39080  cdlemn10  39220  dihjatcclem1  39432