Theorem hlatlej2 39646

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18372 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 39645	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 39638	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5126	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  lecple 17184  joincjn 18234  Atomscatm 39533  HLchlt 39620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18267  df-join 18269  df-lat 18355  df-ats 39537  df-atl 39568  df-cvlat 39592  df-hlat 39621

This theorem is referenced by:  2llnne2N  39678  cvrat3  39712  cvrat4  39713  hlatexch3N  39750  hlatexch4  39751  dalem3  39934  dalem25  39968  lnatexN  40049  lncmp  40053  2llnma3r  40058  paddasslem5  40094  dalawlem3  40143  dalawlem6  40146  dalawlem7  40147  dalawlem12  40152  lhp2atne  40304  lhp2at0ne  40306  4atexlemunv  40336  cdlemc2  40462  cdlemc5  40465  cdleme3h  40505  cdleme7  40519  cdleme9  40523  cdleme11c  40531  cdleme11dN  40532  cdleme11j  40537  cdleme16b  40549  cdleme17b  40557  cdleme18a  40561  cdleme18b  40562  cdleme18c  40563  cdleme19a  40573  cdleme20d  40582  cdleme20j  40588  cdleme21ct  40599  cdleme22a  40610  cdleme22e  40614  cdleme22eALTN  40615  cdleme35b  40720  cdlemg9a  40902  cdlemg12a  40913  cdlemg13a  40921  cdlemg17a  40931  cdlemg17g  40937  cdlemg18c  40950  cdlemg33b0  40971  cdlemg46  41005  cdlemh1  41085  cdlemh  41087  cdlemk4  41104  cdlemki  41111  cdlemksv2  41117  cdlemk12  41120  cdlemk15  41125  cdlemk12u  41142  cdlemkid1  41192  dia2dimlem1  41334  dia2dimlem3  41336  cdlemn10  41476  dihjatcclem1  41688