Theorem hlatlej2 39877

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18407 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 39876	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 39869	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5101	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  lecple 17219  joincjn 18269  Atomscatm 39764  HLchlt 39851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-lub 18302  df-join 18304  df-lat 18390  df-ats 39768  df-atl 39799  df-cvlat 39823  df-hlat 39852

This theorem is referenced by:  2llnne2N  39909  cvrat3  39943  cvrat4  39944  hlatexch3N  39981  hlatexch4  39982  dalem3  40165  dalem25  40199  lnatexN  40280  lncmp  40284  2llnma3r  40289  paddasslem5  40325  dalawlem3  40374  dalawlem6  40377  dalawlem7  40378  dalawlem12  40383  lhp2atne  40535  lhp2at0ne  40537  4atexlemunv  40567  cdlemc2  40693  cdlemc5  40696  cdleme3h  40736  cdleme7  40750  cdleme9  40754  cdleme11c  40762  cdleme11dN  40763  cdleme11j  40768  cdleme16b  40780  cdleme17b  40788  cdleme18a  40792  cdleme18b  40793  cdleme18c  40794  cdleme19a  40804  cdleme20d  40813  cdleme20j  40819  cdleme21ct  40830  cdleme22a  40841  cdleme22e  40845  cdleme22eALTN  40846  cdleme35b  40951  cdlemg9a  41133  cdlemg12a  41144  cdlemg13a  41152  cdlemg17a  41162  cdlemg17g  41168  cdlemg18c  41181  cdlemg33b0  41202  cdlemg46  41236  cdlemh1  41316  cdlemh  41318  cdlemk4  41335  cdlemki  41342  cdlemksv2  41348  cdlemk12  41351  cdlemk15  41356  cdlemk12u  41373  cdlemkid1  41423  dia2dimlem1  41565  dia2dimlem3  41567  cdlemn10  41707  dihjatcclem1  41919