Theorem hlatlej2 39358

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18507 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 39357	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1125	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 39350	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5176	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  lecple 17305  joincjn 18369  Atomscatm 39245  HLchlt 39332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-lub 18404  df-join 18406  df-lat 18490  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333

This theorem is referenced by:  2llnne2N  39391  cvrat3  39425  cvrat4  39426  hlatexch3N  39463  hlatexch4  39464  dalem3  39647  dalem25  39681  lnatexN  39762  lncmp  39766  2llnma3r  39771  paddasslem5  39807  dalawlem3  39856  dalawlem6  39859  dalawlem7  39860  dalawlem12  39865  lhp2atne  40017  lhp2at0ne  40019  4atexlemunv  40049  cdlemc2  40175  cdlemc5  40178  cdleme3h  40218  cdleme7  40232  cdleme9  40236  cdleme11c  40244  cdleme11dN  40245  cdleme11j  40250  cdleme16b  40262  cdleme17b  40270  cdleme18a  40274  cdleme18b  40275  cdleme18c  40276  cdleme19a  40286  cdleme20d  40295  cdleme20j  40301  cdleme21ct  40312  cdleme22a  40323  cdleme22e  40327  cdleme22eALTN  40328  cdleme35b  40433  cdlemg9a  40615  cdlemg12a  40626  cdlemg13a  40634  cdlemg17a  40644  cdlemg17g  40650  cdlemg18c  40663  cdlemg33b0  40684  cdlemg46  40718  cdlemh1  40798  cdlemh  40800  cdlemk4  40817  cdlemki  40824  cdlemksv2  40830  cdlemk12  40833  cdlemk15  40838  cdlemk12u  40855  cdlemkid1  40905  dia2dimlem1  41047  dia2dimlem3  41049  cdlemn10  41189  dihjatcclem1  41401