Theorem hlatlej2 39822

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18415 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 39821	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1127	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 39814	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5113	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  lecple 17227  joincjn 18277  Atomscatm 39709  HLchlt 39796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-lub 18310  df-join 18312  df-lat 18398  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797

This theorem is referenced by:  2llnne2N  39854  cvrat3  39888  cvrat4  39889  hlatexch3N  39926  hlatexch4  39927  dalem3  40110  dalem25  40144  lnatexN  40225  lncmp  40229  2llnma3r  40234  paddasslem5  40270  dalawlem3  40319  dalawlem6  40322  dalawlem7  40323  dalawlem12  40328  lhp2atne  40480  lhp2at0ne  40482  4atexlemunv  40512  cdlemc2  40638  cdlemc5  40641  cdleme3h  40681  cdleme7  40695  cdleme9  40699  cdleme11c  40707  cdleme11dN  40708  cdleme11j  40713  cdleme16b  40725  cdleme17b  40733  cdleme18a  40737  cdleme18b  40738  cdleme18c  40739  cdleme19a  40749  cdleme20d  40758  cdleme20j  40764  cdleme21ct  40775  cdleme22a  40786  cdleme22e  40790  cdleme22eALTN  40791  cdleme35b  40896  cdlemg9a  41078  cdlemg12a  41089  cdlemg13a  41097  cdlemg17a  41107  cdlemg17g  41113  cdlemg18c  41126  cdlemg33b0  41147  cdlemg46  41181  cdlemh1  41261  cdlemh  41263  cdlemk4  41280  cdlemki  41287  cdlemksv2  41293  cdlemk12  41296  cdlemk15  41301  cdlemk12u  41318  cdlemkid1  41368  dia2dimlem1  41510  dia2dimlem3  41512  cdlemn10  41652  dihjatcclem1  41864