Theorem hlatlej2 39369

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18408 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 39368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 39361	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5135	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  lecple 17227  joincjn 18272  Atomscatm 39256  HLchlt 39343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-lub 18305  df-join 18307  df-lat 18391  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344

This theorem is referenced by:  2llnne2N  39402  cvrat3  39436  cvrat4  39437  hlatexch3N  39474  hlatexch4  39475  dalem3  39658  dalem25  39692  lnatexN  39773  lncmp  39777  2llnma3r  39782  paddasslem5  39818  dalawlem3  39867  dalawlem6  39870  dalawlem7  39871  dalawlem12  39876  lhp2atne  40028  lhp2at0ne  40030  4atexlemunv  40060  cdlemc2  40186  cdlemc5  40189  cdleme3h  40229  cdleme7  40243  cdleme9  40247  cdleme11c  40255  cdleme11dN  40256  cdleme11j  40261  cdleme16b  40273  cdleme17b  40281  cdleme18a  40285  cdleme18b  40286  cdleme18c  40287  cdleme19a  40297  cdleme20d  40306  cdleme20j  40312  cdleme21ct  40323  cdleme22a  40334  cdleme22e  40338  cdleme22eALTN  40339  cdleme35b  40444  cdlemg9a  40626  cdlemg12a  40637  cdlemg13a  40645  cdlemg17a  40655  cdlemg17g  40661  cdlemg18c  40674  cdlemg33b0  40695  cdlemg46  40729  cdlemh1  40809  cdlemh  40811  cdlemk4  40828  cdlemki  40835  cdlemksv2  40841  cdlemk12  40844  cdlemk15  40849  cdlemk12u  40866  cdlemkid1  40916  dia2dimlem1  41058  dia2dimlem3  41060  cdlemn10  41200  dihjatcclem1  41412