Theorem hlatlej2 39365

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18355 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 39364	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 39357	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5120	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  lecple 17168  joincjn 18217  Atomscatm 39252  HLchlt 39339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-lub 18250  df-join 18252  df-lat 18338  df-ats 39256  df-atl 39287  df-cvlat 39311  df-hlat 39340

This theorem is referenced by:  2llnne2N  39397  cvrat3  39431  cvrat4  39432  hlatexch3N  39469  hlatexch4  39470  dalem3  39653  dalem25  39687  lnatexN  39768  lncmp  39772  2llnma3r  39777  paddasslem5  39813  dalawlem3  39862  dalawlem6  39865  dalawlem7  39866  dalawlem12  39871  lhp2atne  40023  lhp2at0ne  40025  4atexlemunv  40055  cdlemc2  40181  cdlemc5  40184  cdleme3h  40224  cdleme7  40238  cdleme9  40242  cdleme11c  40250  cdleme11dN  40251  cdleme11j  40256  cdleme16b  40268  cdleme17b  40276  cdleme18a  40280  cdleme18b  40281  cdleme18c  40282  cdleme19a  40292  cdleme20d  40301  cdleme20j  40307  cdleme21ct  40318  cdleme22a  40329  cdleme22e  40333  cdleme22eALTN  40334  cdleme35b  40439  cdlemg9a  40621  cdlemg12a  40632  cdlemg13a  40640  cdlemg17a  40650  cdlemg17g  40656  cdlemg18c  40669  cdlemg33b0  40690  cdlemg46  40724  cdlemh1  40804  cdlemh  40806  cdlemk4  40823  cdlemki  40830  cdlemksv2  40836  cdlemk12  40839  cdlemk15  40844  cdlemk12u  40861  cdlemkid1  40911  dia2dimlem1  41053  dia2dimlem3  41055  cdlemn10  41195  dihjatcclem1  41407