Theorem hlatlej2 39362

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18390 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 39361	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 39354	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5130	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  lecple 17203  joincjn 18252  Atomscatm 39249  HLchlt 39336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-lub 18285  df-join 18287  df-lat 18373  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337

This theorem is referenced by:  2llnne2N  39395  cvrat3  39429  cvrat4  39430  hlatexch3N  39467  hlatexch4  39468  dalem3  39651  dalem25  39685  lnatexN  39766  lncmp  39770  2llnma3r  39775  paddasslem5  39811  dalawlem3  39860  dalawlem6  39863  dalawlem7  39864  dalawlem12  39869  lhp2atne  40021  lhp2at0ne  40023  4atexlemunv  40053  cdlemc2  40179  cdlemc5  40182  cdleme3h  40222  cdleme7  40236  cdleme9  40240  cdleme11c  40248  cdleme11dN  40249  cdleme11j  40254  cdleme16b  40266  cdleme17b  40274  cdleme18a  40278  cdleme18b  40279  cdleme18c  40280  cdleme19a  40290  cdleme20d  40299  cdleme20j  40305  cdleme21ct  40316  cdleme22a  40327  cdleme22e  40331  cdleme22eALTN  40332  cdleme35b  40437  cdlemg9a  40619  cdlemg12a  40630  cdlemg13a  40638  cdlemg17a  40648  cdlemg17g  40654  cdlemg18c  40667  cdlemg33b0  40688  cdlemg46  40722  cdlemh1  40802  cdlemh  40804  cdlemk4  40821  cdlemki  40828  cdlemksv2  40834  cdlemk12  40837  cdlemk15  40842  cdlemk12u  40859  cdlemkid1  40909  dia2dimlem1  41051  dia2dimlem3  41053  cdlemn10  41193  dihjatcclem1  41405