Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intnatN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem intnatN 38581
Description: If the intersection with a non-majorizing element is an atom, the intersecting element is not an atom. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
intnat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
intnat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
intnat.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
intnat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
intnatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴)
Proof of Theorem intnatN
StepHypRef Expression
1 hlatl 38533 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
213ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
32ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4 eqid 2732 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
5 intnat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atn0 38481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ))
73, 6sylancom 588 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ))
87ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
9 simpll1 1212 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
109hllatd 38537 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
11 simpll2 1213 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 simpll3 1214 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
13 intnat.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 intnat.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
1513, 14latmcom 18420 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
1610, 11, 12, 15syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
17 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋)
189, 1syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
19 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
20 intnat.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2113, 20, 14, 4, 5atnle 38490 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ (π‘Œ ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
2218, 19, 11, 21syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ (π‘Œ ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
2317, 22mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ))
2416, 23eqtrd 2772 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ))
2524ex 413 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
2625necon3ad 2953 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴))
278, 26syld 47 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴))
2827impr 455 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  meetcmee 18269  0.cp0 18380  Latclat 18388  Atomscatm 38436  AtLatcal 38437  HLchlt 38523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator