Theorem intnatN 38817

Description: If the intersection with a non-majorizing element is an atom, the intersecting element is not an atom. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
intnat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
intnat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
intnat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
intnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
intnatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem intnatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 38769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
3	2	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
4		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
5		intnat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atn0 38717	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))
7	3, 6	sylancom 587	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))
8	7	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ (0.‘𝐾)))
9		simpll1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
10	9	hllatd 38773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
11		simpll2 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simpll3 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		intnat.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14		intnat.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15	13, 14	latmcom 18446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
16	10, 11, 12, 15	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
17		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)
18	9, 1	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
20		intnat.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21	13, 20, 14, 4, 5	atnle 38726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∧ 𝑋) = (0.‘𝐾)))
22	18, 19, 11, 21	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ (𝑌 ∧ 𝑋) = (0.‘𝐾)))
23	17, 22	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑌 ∧ 𝑋) = (0.‘𝐾))
24	16, 23	eqtrd 2767	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (0.‘𝐾))
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) → (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∧ 𝑌) = (0.‘𝐾)))
26	25	necon3ad 2948	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≠ (0.‘𝐾) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴))
27	8, 26	syld 47	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑌 ≤ 𝑋) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴))
28	27	impr 454	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (¬ 𝑌 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  lecple 17231  meetcmee 18295  0.cp0 18406  Latclat 18414  Atomscatm 38672  AtLatcal 38673  HLchlt 38759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-lat 18415  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760

This theorem is referenced by: (None)