Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intnatN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem intnatN 38326
Description: If the intersection with a non-majorizing element is an atom, the intersecting element is not an atom. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
intnat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
intnat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
intnat.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
intnat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
intnatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴)
Proof of Theorem intnatN
StepHypRef Expression
1 hlatl 38278 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
213ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
32ad2antrr 725 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4 eqid 2733 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
5 intnat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atn0 38226 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ))
73, 6sylancom 589 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ))
87ex 414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
9 simpll1 1213 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
109hllatd 38282 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
11 simpll2 1214 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 simpll3 1215 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
13 intnat.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 intnat.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
1513, 14latmcom 18416 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
1610, 11, 12, 15syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
17 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋)
189, 1syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
19 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
20 intnat.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2113, 20, 14, 4, 5atnle 38235 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ (π‘Œ ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
2218, 19, 11, 21syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ (π‘Œ ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
2317, 22mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ))
2416, 23eqtrd 2773 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ))
2524ex 414 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
2625necon3ad 2954 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  (0.β€˜πΎ) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴))
278, 26syld 47 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴))
2827impr 456 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  meetcmee 18265  0.cp0 18376  Latclat 18384  Atomscatm 38181  AtLatcal 38182  HLchlt 38268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-covers 38184  df-ats 38185  df-atl 38216  df-cvlat 38240  df-hlat 38269
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator