Theorem 2llnneN 40380

Description: Condition implying that two intersecting lines are different. (Contributed by NM, 29-May-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lnne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2lnne.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lnne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnneN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem 2llnneN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp21 1225	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp23 1227	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		simp21 1225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		simp23 1227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑅 ∈ 𝐴)
6		simp22 1226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝐴)
7	4, 5, 6	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
8		2lnne.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		2lnne.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		2lnne.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	8, 9, 10	hlatexch2 40367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
12	7, 11	syld3an2 1438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
13	12	con3d 153	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
14	13	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))))
15	14	imp4a 428	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))))
16	15	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))
17	8, 9, 10	2llnne2N 40379	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))
18	1, 2, 3, 16, 17	syl121anc 1402	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  lecple 17382  joincjn 18432  Atomscatm 40234  HLchlt 40321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18415  df-poset 18434  df-plt 18449  df-lub 18465  df-glb 18466  df-join 18467  df-meet 18468  df-p0 18544  df-lat 18553  df-covers 40237  df-ats 40238  df-atl 40269  df-cvlat 40293  df-hlat 40322

This theorem is used by: (None)