Theorem 2llnneN 38275

Description: Condition implying that two intersecting lines are different. (Contributed by NM, 29-May-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lnne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2lnne.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lnne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnneN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem 2llnneN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp21 1206	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp23 1208	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		simp21 1206	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		simp23 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑅 ∈ 𝐴)
6		simp22 1207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝐴)
7	4, 5, 6	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
8		2lnne.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		2lnne.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		2lnne.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	8, 9, 10	hlatexch2 38262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
12	7, 11	syld3an2 1411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
13	12	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
14	13	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))))
15	14	imp4a 423	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))))
16	15	3imp 1111	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄))
17	8, 9, 10	2llnne2N 38274	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))
18	1, 2, 3, 16, 17	syl121anc 1375	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  lecple 17203  joincjn 18263  Atomscatm 38128  HLchlt 38215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216

This theorem is referenced by: (None)