Theorem atlltn0 40457

Description: A lattice element greater than zero is nonzero. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlltne0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlltne0.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atlltne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlltn0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Proof of Theorem atlltn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlltne0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		atlltne0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	atl0cl 40454	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		atlltne0.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
9	7, 8	pltval 18510	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
10	1, 5, 6, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
11		necom 3008	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ 0 ≠ 𝑋)
12	2, 7, 3	atl0le 40455	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
13	12	biantrurd 542	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ≠ 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
14	11, 13	bitr2id 287	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋) ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
15	10, 14	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  lecple 17441  ltcplt 18488  0.cp0 18601  AtLatcal 40415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-plt 18508  df-glb 18525  df-p0 18603  df-atl 40449

This theorem is used by:  isat3  40458