Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlltn0 37814
Description: A lattice element greater than zero is nonzero. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlltne0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atlltne0.s < = (ltβ€˜πΎ)
atlltne0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atlltn0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  0 ))

Proof of Theorem atlltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlltne0.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 atlltne0.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
42, 3atl0cl 37811 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 0 ∈ 𝐡)
54adantr 482 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
6 simpr 486 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 eqid 2733 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
8 atlltne0.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
97, 8pltval 18226 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
11 necom 2994 . . 3 (𝑋 β‰  0 ↔ 0 β‰  𝑋)
122, 7, 3atl0le 37812 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
1312biantrurd 534 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 β‰  𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
1411, 13bitr2id 284 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋) ↔ 𝑋 β‰  0 ))
1510, 14bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  ltcplt 18202  0.cp0 18317  AtLatcal 37772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-plt 18224  df-glb 18241  df-p0 18319  df-atl 37806
This theorem is referenced by:  isat3  37815
  Copyright terms: Public domain W3C validator