Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlltn0 35887
Description: A lattice element greater than zero is nonzero. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlltne0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlltne0.s < = (lt‘𝐾)
atlltne0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlltn0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))

Proof of Theorem atlltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlltne0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 atlltne0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
42, 3atl0cl 35884 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
54adantr 473 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
6 simpr 477 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2772 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 atlltne0.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
97, 8pltval 17422 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1351 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
11 necom 3014 . . 3 (𝑋00𝑋)
122, 7, 3atl0le 35885 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
1312biantrurd 525 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
1411, 13syl5rbb 276 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋) ↔ 𝑋0 ))
1510, 14bitrd 271 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961   class class class wbr 4923  cfv 6182  Basecbs 16333  lecple 16422  ltcplt 17403  0.cp0 17499  AtLatcal 35845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5306  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-plt 17420  df-glb 17437  df-p0 17501  df-atl 35879
This theorem is referenced by:  isat3  35888
  Copyright terms: Public domain W3C validator