Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlltn0 38810
Description: A lattice element greater than zero is nonzero. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlltne0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atlltne0.s < = (ltβ€˜πΎ)
atlltne0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atlltn0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  0 ))

Proof of Theorem atlltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlltne0.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 atlltne0.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
42, 3atl0cl 38807 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 0 ∈ 𝐡)
54adantr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
6 simpr 483 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 eqid 2728 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
8 atlltne0.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
97, 8pltval 18331 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
11 necom 2991 . . 3 (𝑋 β‰  0 ↔ 0 β‰  𝑋)
122, 7, 3atl0le 38808 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
1312biantrurd 531 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 β‰  𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
1411, 13bitr2id 283 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋) ↔ 𝑋 β‰  0 ))
1510, 14bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  ltcplt 18307  0.cp0 18422  AtLatcal 38768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-plt 18329  df-glb 18346  df-p0 18424  df-atl 38802
This theorem is referenced by:  isat3  38811
  Copyright terms: Public domain W3C validator