Theorem atlltn0 40061

Description: A lattice element greater than zero is nonzero. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlltne0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlltne0.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atlltne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlltn0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Proof of Theorem atlltn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlltne0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		atlltne0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	atl0cl 40058	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
6		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		atlltne0.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
9	7, 8	pltval 18387	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
10	1, 5, 6, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
11		necom 3011	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ 0 ≠ 𝑋)
12	2, 7, 3	atl0le 40059	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
13	12	biantrurd 541	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ≠ 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
14	11, 13	bitr2id 287	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋) ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
15	10, 14	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  lecple 17318  ltcplt 18365  0.cp0 18478  AtLatcal 40019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-plt 18385  df-glb 18402  df-p0 18480  df-atl 40053

This theorem is referenced by:  isat3  40062