Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atl0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atl0cl 35457
Description: An atomic lattice has a zero element. We can use this in place of op0cl 35338 for lattices without orthocomplements. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0cl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0cl.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atl0cl (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)

Proof of Theorem atl0cl
StepHypRef Expression
1 atl0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2778 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 atl0cl.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3p0val 17427 . 2 (𝐾 ∈ AtLat → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ AtLat)
6 eqid 2778 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
71, 6, 2atl0dm 35456 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
81, 2, 5, 7glbcl 17384 . 2 (𝐾 ∈ AtLat → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
94, 8eqeltrd 2859 1 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6135  Basecbs 16255  lubclub 17328  glbcglb 17329  0.cp0 17423  AtLatcal 35418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-glb 17361  df-p0 17425  df-atl 35452
This theorem is referenced by:  atlle0  35459  atlltn0  35460  isat3  35461  atnle0  35463  atlen0  35464  atcmp  35465  atcvreq0  35468  pmap0  35919  dia0  37206  dih0cnv  37437
  Copyright terms: Public domain W3C validator