Theorem atl0cl 39326

Description: An atomic lattice has a zero element. We can use this in place of op0cl 39207 for lattices without orthocomplements. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0cl.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atl0cl	⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem atl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		atl0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p0val 18442	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ AtLat)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7	1, 6, 2	atl0dm 39325	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
8	1, 2, 5, 7	glbcl 18385	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
9	4, 8	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  lubclub 18326  glbcglb 18327  0.cp0 18438  AtLatcal 39287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-glb 18362  df-p0 18440  df-atl 39321

This theorem is referenced by:  atlle0  39328  atlltn0  39329  isat3  39330  atnle0  39332  atlen0  39333  atcmp  39334  atcvreq0  39337  pmap0  39789  dia0  41076  dih0cnv  41307