Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atl0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atl0cl 38775
Description: An atomic lattice has a zero element. We can use this in place of op0cl 38656 for lattices without orthocomplements. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0cl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0cl.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atl0cl (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)

Proof of Theorem atl0cl
StepHypRef Expression
1 atl0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2728 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 atl0cl.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3p0val 18419 . 2 (𝐾 ∈ AtLat → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ AtLat)
6 eqid 2728 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
71, 6, 2atl0dm 38774 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
81, 2, 5, 7glbcl 18362 . 2 (𝐾 ∈ AtLat → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
94, 8eqeltrd 2829 1 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6548  Basecbs 17180  lubclub 18301  glbcglb 18302  0.cp0 18415  AtLatcal 38736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-glb 18339  df-p0 18417  df-atl 38770
This theorem is referenced by:  atlle0  38777  atlltn0  38778  isat3  38779  atnle0  38781  atlen0  38782  atcmp  38783  atcvreq0  38786  pmap0  39238  dia0  40525  dih0cnv  40756
  Copyright terms: Public domain W3C validator