Theorem atl0cl 39749

Description: An atomic lattice has a zero element. We can use this in place of op0cl 39630 for lattices without orthocomplements. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0cl.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atl0cl	⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem atl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		atl0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p0val 18391	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ AtLat)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7	1, 6, 2	atl0dm 39748	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
8	1, 2, 5, 7	glbcl 18334	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
9	4, 8	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lubclub 18275  glbcglb 18276  0.cp0 18387  AtLatcal 39710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-glb 18311  df-p0 18389  df-atl 39744

This theorem is referenced by:  atlle0  39751  atlltn0  39752  isat3  39753  atnle0  39755  atlen0  39756  atcmp  39757  atcvreq0  39760  pmap0  40211  dia0  41498  dih0cnv  41729