Theorem atl0cl 35457

Description: An atomic lattice has a zero element. We can use this in place of op0cl 35338 for lattices without orthocomplements. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0cl.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atl0cl	⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem atl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2778	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		atl0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p0val 17427	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ AtLat)
6		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7	1, 6, 2	atl0dm 35456	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
8	1, 2, 5, 7	glbcl 17384	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
9	4, 8	eqeltrd 2859	1 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  lubclub 17328  glbcglb 17329  0.cp0 17423  AtLatcal 35418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-glb 17361  df-p0 17425  df-atl 35452

This theorem is referenced by:  atlle0  35459  atlltn0  35460  isat3  35461  atnle0  35463  atlen0  35464  atcmp  35465  atcvreq0  35468  pmap0  35919  dia0  37206  dih0cnv  37437