Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atl0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atl0cl 37811
Description: An atomic lattice has a zero element. We can use this in place of op0cl 37692 for lattices without orthocomplements. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0cl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0cl.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atl0cl (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)

Proof of Theorem atl0cl
StepHypRef Expression
1 atl0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2733 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 atl0cl.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3p0val 18321 . 2 (𝐾 ∈ AtLat → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ AtLat)
6 eqid 2733 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
71, 6, 2atl0dm 37810 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
81, 2, 5, 7glbcl 18264 . 2 (𝐾 ∈ AtLat → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
94, 8eqeltrd 2834 1 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6497  Basecbs 17088  lubclub 18203  glbcglb 18204  0.cp0 18317  AtLatcal 37772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-glb 18241  df-p0 18319  df-atl 37806
This theorem is referenced by:  atlle0  37813  atlltn0  37814  isat3  37815  atnle0  37817  atlen0  37818  atcmp  37819  atcvreq0  37822  pmap0  38274  dia0  39561  dih0cnv  39792
  Copyright terms: Public domain W3C validator