Theorem atl0cl 40360

Description: An atomic lattice has a zero element. We can use this in place of op0cl 40241 for lattices without orthocomplements. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0cl.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atl0cl	⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem atl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		atl0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p0val 18599	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ AtLat)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7	1, 6, 2	atl0dm 40359	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
8	1, 2, 5, 7	glbcl 18542	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
9	4, 8	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lubclub 18483  glbcglb 18484  0.cp0 18595  AtLatcal 40321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-glb 18519  df-p0 18597  df-atl 40355

This theorem is used by:  atlle0  40362  atlltn0  40363  isat3  40364  atnle0  40366  atlen0  40367  atcmp  40368  atcvreq0  40371  pmap0  40822  dia0  42109  dih0cnv  42340