Theorem atl0cl 39928

Description: An atomic lattice has a zero element. We can use this in place of op0cl 39809 for lattices without orthocomplements. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0cl.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atl0cl	⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem atl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		atl0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	p0val 18458	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ AtLat)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
7	1, 6, 2	atl0dm 39927	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
8	1, 2, 5, 7	glbcl 18401	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
9	4, 8	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6522  Basecbs 17246  lubclub 18342  glbcglb 18343  0.cp0 18454  AtLatcal 39889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-glb 18378  df-p0 18456  df-atl 39923

This theorem is referenced by:  atlle0  39930  atlltn0  39931  isat3  39932  atnle0  39934  atlen0  39935  atcmp  39936  atcvreq0  39939  pmap0  40390  dia0  41677  dih0cnv  41908