Theorem atl0le 40281

Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 31976 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atl0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atl0le	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem atl0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0le.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		atl0le.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		atl0le.z	. 2 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
6		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	1, 7, 2	atl0dm 40279	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	p0le 18562	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  dom cdm 5647  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  lecple 17396  lubclub 18444  glbcglb 18445  0.cp0 18556  AtLatcal 40241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-glb 18480  df-p0 18558  df-atl 40275

This theorem is used by:  atlle0  40282  atlltn0  40283  atcvreq0  40291  trlval4  41165  dian0  42016  dia0  42029  dihmeetlem4preN  42283