Theorem atl0le 40003

Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 31734 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atl0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atl0le	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem atl0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0le.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2769	. 2 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		atl0le.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		atl0le.z	. 2 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
6		simpr 489	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	1, 7, 2	atl0dm 40001	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
9	8	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	p0le 18483	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  lecple 17317  lubclub 18365  glbcglb 18366  0.cp0 18477  AtLatcal 39963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-glb 18401  df-p0 18479  df-atl 39997

This theorem is referenced by:  atlle0  40004  atlltn0  40005  atcvreq0  40013  trlval4  40887  dian0  41738  dia0  41751  dihmeetlem4preN  42005