Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atl0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atl0le 37812
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 30425 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0le.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atl0le.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atl0le.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atl0le ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝑋)

Proof of Theorem atl0le
StepHypRef Expression
1 atl0le.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . 2 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
3 atl0le.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 atl0le.z . 2 0 = (0.β€˜πΎ)
5 simpl 484 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
6 simpr 486 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 eqid 2733 . . . 4 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
81, 7, 2atl0dm 37810 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ))
98adantr 482 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9p0le 18323 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  lubclub 18203  glbcglb 18204  0.cp0 18317  AtLatcal 37772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-glb 18241  df-p0 18319  df-atl 37806
This theorem is referenced by:  atlle0  37813  atlltn0  37814  atcvreq0  37822  trlval4  38697  dian0  39548  dia0  39561  dihmeetlem4preN  39815
  Copyright terms: Public domain W3C validator