Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atl0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atl0le 38776
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 31264 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0le.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atl0le.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atl0le.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atl0le ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝑋)

Proof of Theorem atl0le
StepHypRef Expression
1 atl0le.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . 2 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
3 atl0le.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 atl0le.z . 2 0 = (0.β€˜πΎ)
5 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
6 simpr 484 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 eqid 2728 . . . 4 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
81, 7, 2atl0dm 38774 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat β†’ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ))
98adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9p0le 18421 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  lubclub 18301  glbcglb 18302  0.cp0 18415  AtLatcal 38736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-glb 18339  df-p0 18417  df-atl 38770
This theorem is referenced by:  atlle0  38777  atlltn0  38778  atcvreq0  38786  trlval4  39661  dian0  40512  dia0  40525  dihmeetlem4preN  40779
  Copyright terms: Public domain W3C validator