Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atl0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atl0le 35467
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 28889 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l = (le‘𝐾)
atl0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atl0le ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)

Proof of Theorem atl0le
StepHypRef Expression
1 atl0le.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2778 . 2 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 atl0le.l . 2 = (le‘𝐾)
4 atl0le.z . 2 0 = (0.‘𝐾)
5 simpl 476 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
6 simpr 479 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2778 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
81, 7, 2atl0dm 35465 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
98adantr 474 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9p0le 17440 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  dom cdm 5357  cfv 6137  Basecbs 16266  lecple 16356  lubclub 17339  glbcglb 17340  0.cp0 17434  AtLatcal 35427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-glb 17372  df-p0 17436  df-atl 35461
This theorem is referenced by:  atlle0  35468  atlltn0  35469  atcvreq0  35477  trlval4  36351  dian0  37202  dia0  37215  dihmeetlem4preN  37469
  Copyright terms: Public domain W3C validator