Theorem atl0le 40164

Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 31908 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atl0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atl0le	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem atl0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0le.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		atl0le.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		atl0le.z	. 2 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
6		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	1, 7, 2	atl0dm 40162	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	p0le 18519	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  lecple 17353  lubclub 18401  glbcglb 18402  0.cp0 18513  AtLatcal 40124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-glb 18437  df-p0 18515  df-atl 40158

This theorem is used by:  atlle0  40165  atlltn0  40166  atcvreq0  40174  trlval4  41048  dian0  41899  dia0  41912  dihmeetlem4preN  42166