Theorem atl0le 37245

Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 29704 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atl0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atl0le	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem atl0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0le.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		atl0le.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		atl0le.z	. 2 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
6		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	1, 7, 2	atl0dm 37243	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	p0le 18062	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  lubclub 17942  glbcglb 17943  0.cp0 18056  AtLatcal 37205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-glb 17980  df-p0 18058  df-atl 37239

This theorem is referenced by:  atlle0  37246  atlltn0  37247  atcvreq0  37255  trlval4  38129  dian0  38980  dia0  38993  dihmeetlem4preN  39247