Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atl0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atl0le 36593
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 29227 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l = (le‘𝐾)
atl0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atl0le ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)

Proof of Theorem atl0le
StepHypRef Expression
1 atl0le.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2801 . 2 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 atl0le.l . 2 = (le‘𝐾)
4 atl0le.z . 2 0 = (0.‘𝐾)
5 simpl 486 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
6 simpr 488 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2801 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
81, 7, 2atl0dm 36591 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
98adantr 484 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9p0le 17648 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  cfv 6328  Basecbs 16478  lecple 16567  lubclub 17547  glbcglb 17548  0.cp0 17642  AtLatcal 36553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-glb 17580  df-p0 17644  df-atl 36587
This theorem is referenced by:  atlle0  36594  atlltn0  36595  atcvreq0  36603  trlval4  37477  dian0  38328  dia0  38341  dihmeetlem4preN  38595
  Copyright terms: Public domain W3C validator