Theorem atl0le 36444

Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 29221 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atl0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atl0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atl0le	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem atl0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atl0le.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2824	. 2 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		atl0le.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		atl0le.z	. 2 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		simpl 485	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
6		simpr 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	1, 7, 2	atl0dm 36442	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
9	8	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	p0le 17656	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  dom cdm 5558  ‘cfv 6358  Basecbs 16486  lecple 16575  lubclub 17555  glbcglb 17556  0.cp0 17650  AtLatcal 36404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-glb 17588  df-p0 17652  df-atl 36438

This theorem is referenced by:  atlle0  36445  atlltn0  36446  atcvreq0  36454  trlval4  37328  dian0  38179  dia0  38192  dihmeetlem4preN  38446