Theorem axltadd 11294

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom 20 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-ltadd 11192 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
axltadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem axltadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-ltadd 11192	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) <ℝ (𝐶 + 𝐵)))
2		ltxrlt 11291	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
3	2	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 <ℝ 𝐵))
4		readdcl 11199	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
5		readdcl 11199	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltxrlt 11291	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ (𝐶 + 𝐴) <ℝ (𝐶 + 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ (𝐶 + 𝐴) <ℝ (𝐶 + 𝐵)))
8	7	3impdi 1349	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ (𝐶 + 𝐴) <ℝ (𝐶 + 𝐵)))
9	8	3coml 1126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) ↔ (𝐶 + 𝐴) <ℝ (𝐶 + 𝐵)))
10	1, 3, 9	3imtr4d 294	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  ℝcr 11115   + caddc 11119   <_ℝ cltrr 11120   < clt 11255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-addrcl 11177  ax-pre-ltadd 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260

This theorem is referenced by:  ltadd2  11325  nnge1  12247  ltoddhalfle  16311  dp2lt  32485  sqrtpwpw2p  46667