MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltoddhalfle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltoddhalfle 16178
Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltoddhalfle ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 16158 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2 halfre 12301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
4 1red 11090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
5 zre 12437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
63, 4, 53jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
76adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
8 halflt1 12305 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
9 axltadd 11162 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ ((1 / 2) < 1 โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)))
107, 8, 9mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1))
11 zre 12437 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1211adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
135, 3readdcld 11118 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
15 peano2z 12475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค)
1615zred 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
18 lttr 11165 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โˆง (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
1912, 14, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โˆง (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2010, 19mpan2d 693 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
21 zleltp1 12485 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†” ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2221ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†” ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2320, 22sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
24 halfgt0 12303 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
253, 5jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
27 ltaddpos 11579 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / 2) โ†” ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 < (1 / 2) โ†” ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))))
2924, 28mpbii 232 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2)))
305adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
31 lelttr 11179 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3212, 30, 14, 31syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3329, 32mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3423, 33impbid 211 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
35 zcn 12438 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
36 1cnd 11084 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
37 2cnne0 12297 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
39 muldivdir 11782 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
4035, 36, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
4140breq2d 5116 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
4241adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
43 2z 12466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„ค
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4644, 45zmulcld 12546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
4746zcnd 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
49 pncan1 11513 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5150oveq1d 7365 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((2 ยท ๐‘›) / 2))
52 2cnd 12165 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
53 2ne0 12191 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
5535, 52, 54divcan3d 11870 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5655adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5751, 56eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ๐‘›)
5857breq2d 5116 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
5934, 42, 583bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2)))
60 oveq1 7357 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘ / 2))
6160breq2d 5116 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘ / 2)))
62 oveq1 7357 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
6362oveq1d 7365 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
6463breq2d 5116 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
6561, 64bibi12d 346 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2)) โ†” (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
6659, 65syl5ibcom 245 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
6766ex 414 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
6867adantl 483 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
6968com23 86 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
7069rexlimdva 3151 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
711, 70sylbid 239 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
72713imp 1112 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  โ„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990   < clt 11123   โ‰ค cle 11124   โˆ’ cmin 11319   / cdiv 11746  2c2 12142  โ„คcz 12433   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  26635
  Copyright terms: Public domain W3C validator