MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltoddhalfle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltoddhalfle 16398
Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltoddhalfle ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 16378 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2 halfre 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
63, 4, 53jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
76adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
8 halflt1 12484 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
9 axltadd 11334 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)))
107, 8, 9mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1))
11 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
135, 3readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15 peano2z 12658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
1615zred 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18 lttr 11337 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
1912, 14, 17, 18syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
2010, 19mpan2d 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
21 zleltp1 12668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑀 < (𝑛 + 1)))
2221ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑀 < (𝑛 + 1)))
2320, 22sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀𝑛))
24 halfgt0 12482 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
253, 5jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
27 ltaddpos 11753 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
2924, 28mpbii 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2)))
305adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
31 lelttr 11351 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑛𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
3212, 30, 14, 31syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑛𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
3329, 32mpan2d 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
3423, 33impbid 212 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ↔ 𝑀𝑛))
35 zcn 12618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
36 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
37 2cnne0 12476 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
39 muldivdir 11960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
4035, 36, 38, 39syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
4140breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
43 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
4644, 45zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
4746zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
49 pncan1 11687 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
5150oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
53 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
5535, 52, 54divcan3d 12048 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5751, 56eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
5857breq2d 5155 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀𝑛))
5934, 42, 583bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
60 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
6160breq2d 5155 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑁 / 2)))
62 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
6362oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
6463breq2d 5155 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
6561, 64bibi12d 345 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) ↔ (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
6659, 65syl5ibcom 245 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
6766ex 412 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
6867adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
6968com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
7069rexlimdva 3155 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
711, 70sylbid 240 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
72713imp 1111 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  27409
  Copyright terms: Public domain W3C validator