MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltoddhalfle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltoddhalfle 16304
Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltoddhalfle ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 16284 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2 halfre 12426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
4 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
5 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
63, 4, 53jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
76adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
8 halflt1 12430 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
9 axltadd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ ((1 / 2) < 1 โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)))
107, 8, 9mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1))
11 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1211adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
135, 3readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
15 peano2z 12603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค)
1615zred 12666 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
18 lttr 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โˆง (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
1912, 14, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โˆง (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2010, 19mpan2d 693 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
21 zleltp1 12613 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†” ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2221ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†” ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2320, 22sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
24 halfgt0 12428 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
253, 5jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
27 ltaddpos 11704 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / 2) โ†” ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 < (1 / 2) โ†” ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))))
2924, 28mpbii 232 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2)))
305adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
31 lelttr 11304 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3212, 30, 14, 31syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3329, 32mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3423, 33impbid 211 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
35 zcn 12563 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
36 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
37 2cnne0 12422 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
39 muldivdir 11907 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
4035, 36, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
4140breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
4241adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
43 2z 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„ค
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4644, 45zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
4746zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
49 pncan1 11638 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5150oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((2 ยท ๐‘›) / 2))
52 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
53 2ne0 12316 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
5535, 52, 54divcan3d 11995 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5655adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5751, 56eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ๐‘›)
5857breq2d 5161 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
5934, 42, 583bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2)))
60 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘ / 2))
6160breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘ / 2)))
62 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
6362oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
6463breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
6561, 64bibi12d 346 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2)) โ†” (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
6659, 65syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
6766ex 414 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
6867adantl 483 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
6968com23 86 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
7069rexlimdva 3156 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
711, 70sylbid 239 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
72713imp 1112 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„คcz 12558   โˆฅ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-dvds 16198
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  26868
  Copyright terms: Public domain W3C validator