Theorem ltoddhalfle 16070

Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltoddhalfle	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16050	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2		halfre 12187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 12323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
8		halflt1 12191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
9		axltadd 11048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)))
10	7, 8, 9	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1))
11		zre 12323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	5, 3	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15		peano2z 12361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
16	15	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18		lttr 11051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
20	10, 19	mpan2d 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
21		zleltp1 12371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 < (𝑛 + 1)))
22	21	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 < (𝑛 + 1)))
23	20, 22	sylibrd 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 ≤ 𝑛))
24		halfgt0 12189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (1 / 2)
25	3, 5	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
27		ltaddpos 11465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
29	24, 28	mpbii 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2)))
30	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
31		lelttr 11065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
32	12, 30, 14, 31	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
33	29, 32	mpan2d 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
34	23, 33	impbid 211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ↔ 𝑀 ≤ 𝑛))
35		zcn 12324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
36		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
37		2cnne0 12183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
39		muldivdir 11668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
40	35, 36, 38, 39	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
41	40	breq2d 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
43		2z 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
46	44, 45	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
47	46	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
49		pncan1 11399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
51	50	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
53		2ne0 12077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
55	35, 52, 54	divcan3d 11756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
57	51, 56	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
58	57	breq2d 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ 𝑛))
59	34, 42, 58	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
60		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
61	60	breq2d 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑁 / 2)))
62		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
63	62	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
64	63	breq2d 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
65	61, 64	bibi12d 346	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) ↔ (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
66	59, 65	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
67	66	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
68	67	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
69	68	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
70	69	rexlimdva 3213	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
71	1, 70	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
72	71	3imp 1110	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-dvds 15964

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  26513