Theorem ltoddhalfle 16290

Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltoddhalfle	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16270	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2		halfre 12355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4		1red 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 12493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
8		halflt1 12359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
9		axltadd 11207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)))
10	7, 8, 9	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1))
11		zre 12493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	5, 3	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15		peano2z 12534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
16	15	zred 12598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18		lttr 11210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
20	10, 19	mpan2d 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
21		zleltp1 12544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 < (𝑛 + 1)))
22	21	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 < (𝑛 + 1)))
23	20, 22	sylibrd 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 ≤ 𝑛))
24		halfgt0 12357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (1 / 2)
25	3, 5	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
27		ltaddpos 11628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
29	24, 28	mpbii 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2)))
30	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
31		lelttr 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
32	12, 30, 14, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
33	29, 32	mpan2d 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
34	23, 33	impbid 212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ↔ 𝑀 ≤ 𝑛))
35		zcn 12494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
36		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
37		2cnne0 12351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
39		muldivdir 11835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
40	35, 36, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
41	40	breq2d 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
43		2z 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
46	44, 45	zmulcld 12604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
47	46	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
49		pncan1 11562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
51	50	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52		2cnd 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
53		2ne0 12250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
55	35, 52, 54	divcan3d 11923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
57	51, 56	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
58	57	breq2d 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ 𝑛))
59	34, 42, 58	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
60		oveq1 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
61	60	breq2d 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑁 / 2)))
62		oveq1 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
63	62	oveq1d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
64	63	breq2d 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
65	61, 64	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) ↔ (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
66	59, 65	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
67	66	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
68	67	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
69	68	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
70	69	rexlimdva 3130	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
71	1, 70	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
72	71	3imp 1110	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  2c2 12201  ℤcz 12489   ∥ cdvds 16181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-dvds 16182

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  27292