Theorem ltoddhalfle 16306

Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltoddhalfle	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16286	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2		halfre 12428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4		1red 11217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 12564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
8		halflt1 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
9		axltadd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)))
10	7, 8, 9	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1))
11		zre 12564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	5, 3	readdcld 11245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15		peano2z 12605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
16	15	zred 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18		lttr 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
20	10, 19	mpan2d 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
21		zleltp1 12615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 < (𝑛 + 1)))
22	21	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 < (𝑛 + 1)))
23	20, 22	sylibrd 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 ≤ 𝑛))
24		halfgt0 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (1 / 2)
25	3, 5	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
27		ltaddpos 11706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
29	24, 28	mpbii 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2)))
30	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
31		lelttr 11306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
32	12, 30, 14, 31	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
33	29, 32	mpan2d 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
34	23, 33	impbid 211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ↔ 𝑀 ≤ 𝑛))
35		zcn 12565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
36		1cnd 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
37		2cnne0 12424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
39		muldivdir 11909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
40	35, 36, 38, 39	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
41	40	breq2d 5160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
43		2z 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
46	44, 45	zmulcld 12674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
47	46	zcnd 12669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
49		pncan1 11640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
51	50	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52		2cnd 12292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
53		2ne0 12318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
55	35, 52, 54	divcan3d 11997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
57	51, 56	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
58	57	breq2d 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ 𝑛))
59	34, 42, 58	3bitr4d 310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
60		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
61	60	breq2d 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑁 / 2)))
62		oveq1 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
63	62	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
64	63	breq2d 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
65	61, 64	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) ↔ (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
66	59, 65	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
67	66	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
68	67	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
69	68	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
70	69	rexlimdva 3155	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
71	1, 70	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
72	71	3imp 1111	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11250   ≤ cle 11251   − cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  ℤcz 12560   ∥ cdvds 16199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-dvds 16200

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  26875