MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltoddhalfle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltoddhalfle 16341
Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltoddhalfle ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 16321 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2 halfre 12459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4 1red 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5 zre 12595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
63, 4, 53jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
76adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
8 halflt1 12463 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
9 axltadd 11319 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)))
107, 8, 9mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1))
11 zre 12595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1211adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
135, 3readdcld 11275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1413adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15 peano2z 12636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
1615zred 12699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18 lttr 11322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
1912, 14, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
2010, 19mpan2d 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
21 zleltp1 12646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑀 < (𝑛 + 1)))
2221ancoms 457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑀 < (𝑛 + 1)))
2320, 22sylibrd 258 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀𝑛))
24 halfgt0 12461 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
253, 5jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
2625adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
27 ltaddpos 11736 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
2924, 28mpbii 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2)))
305adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
31 lelttr 11336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑛𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
3212, 30, 14, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑛𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
3329, 32mpan2d 692 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
3423, 33impbid 211 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ↔ 𝑀𝑛))
35 zcn 12596 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
36 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
37 2cnne0 12455 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
39 muldivdir 11940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
4035, 36, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
4140breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
4241adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
43 2z 12627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
4644, 45zmulcld 12705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
4746zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
4847adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
49 pncan1 11670 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
5150oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52 2cnd 12323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
53 2ne0 12349 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
5535, 52, 54divcan3d 12028 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5751, 56eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
5857breq2d 5161 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀𝑛))
5934, 42, 583bitr4d 310 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
60 oveq1 7426 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
6160breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑁 / 2)))
62 oveq1 7426 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
6362oveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
6463breq2d 5161 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
6561, 64bibi12d 344 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) ↔ (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
6659, 65syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
6766ex 411 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
6867adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
6968com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
7069rexlimdva 3144 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
711, 70sylbid 239 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
72713imp 1108 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  2c2 12300  cz 12591  cdvds 16234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-dvds 16235
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  27343
  Copyright terms: Public domain W3C validator