MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltoddhalfle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltoddhalfle 15570
Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltoddhalfle ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 15550 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2 halfre 11661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4 1red 10440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5 zre 11797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
63, 4, 53jca 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
76adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
8 halflt1 11665 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
9 axltadd 10514 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)))
107, 8, 9mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1))
11 zre 11797 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1211adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
135, 3readdcld 10469 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1413adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15 peano2z 11836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
1615zred 11900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1716adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18 lttr 10517 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
1912, 14, 17, 18syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
2010, 19mpan2d 681 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
21 zleltp1 11846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑀 < (𝑛 + 1)))
2221ancoms 451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑀 < (𝑛 + 1)))
2320, 22sylibrd 251 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀𝑛))
24 halfgt0 11663 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
253, 5jca 504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
2625adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
27 ltaddpos 10931 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
2924, 28mpbii 225 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2)))
305adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
31 lelttr 10531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑛𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
3212, 30, 14, 31syl3anc 1351 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑛𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
3329, 32mpan2d 681 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
3423, 33impbid 204 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ↔ 𝑀𝑛))
35 zcn 11798 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
36 1cnd 10434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
37 2cnne0 11657 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
39 muldivdir 11134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
4035, 36, 38, 39syl3anc 1351 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
4140breq2d 4941 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
4241adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
43 2z 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
4644, 45zmulcld 11906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
4746zcnd 11901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
4847adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
49 pncan1 10865 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
5150oveq1d 6991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52 2cnd 11518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
53 2ne0 11551 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
5535, 52, 54divcan3d 11222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5655adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5751, 56eqtrd 2815 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
5857breq2d 4941 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀𝑛))
5934, 42, 583bitr4d 303 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
60 oveq1 6983 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
6160breq2d 4941 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑁 / 2)))
62 oveq1 6983 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
6362oveq1d 6991 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
6463breq2d 4941 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
6561, 64bibi12d 338 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) ↔ (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
6659, 65syl5ibcom 237 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
6766ex 405 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
6867adantl 474 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
6968com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
7069rexlimdva 3230 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
711, 70sylbid 232 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
72713imp 1091 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  wrex 3090   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474  cle 10475  cmin 10670   / cdiv 11098  2c2 11495  cz 11793  cdvds 15467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-dvds 15468
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  25643
  Copyright terms: Public domain W3C validator