MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnge1 12239
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5152 . 2 (𝑥 = 1 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 1))
2 breq2 5152 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝑦))
3 breq2 5152 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
4 breq2 5152 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝐴))
5 1le1 11841 . 2 1 ≤ 1
6 nnre 12218 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7 recn 11199 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
87addridd 11413 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
98breq2d 5160 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ 1 ≤ 𝑦))
10 0lt1 11735 . . . . . . . 8 0 < 1
11 0re 11215 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
12 1re 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
13 axltadd 11286 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
1411, 12, 13mp3an12 1451 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
1510, 14mpi 20 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1))
16 readdcl 11192 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
1711, 16mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
18 peano2re 11386 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19 lttr 11289 . . . . . . . . 9 (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2012, 19mp3an3 1450 . . . . . . . 8 (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2117, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2215, 21mpand 693 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) < 1 → (𝑦 + 0) < 1))
2322con3d 152 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (¬ (𝑦 + 0) < 1 → ¬ (𝑦 + 1) < 1))
24 lenlt 11291 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
2512, 17, 24sylancr 587 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
26 lenlt 11291 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
2712, 18, 26sylancr 587 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
2823, 25, 273imtr4d 293 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
299, 28sylbird 259 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
306, 29syl 17 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 12229 1 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  cle 11248  cn 12211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212
This theorem is referenced by:  nngt1ne1  12240  nnle1eq1  12241  nngt0  12242  nnnlt1  12243  nnrecgt0  12254  nnge1d  12259  elnnnn0c  12516  zle0orge1  12574  elnnz1  12587  zltp1le  12611  nn0ledivnn  13086  fzo1fzo0n0  13682  elfzom1elp1fzo  13698  fzo0sn0fzo1  13720  addmodlteq  13910  nnlesq  14168  digit1  14199  expnngt1  14203  faclbnd  14249  faclbnd3  14251  faclbnd4lem1  14252  faclbnd4lem4  14255  len0nnbi  14500  fstwrdne0  14505  divalglem1  16336  coprmgcdb  16585  isprm3  16619  pockthg  16838  infpn2  16845  setsstruct  17108  chfacfpmmulgsum2  22366  dscmet  24080  ovolunlem1a  25012  vitali  25129  plyeq0lem  25723  logtayllem  26166  leibpi  26444  vmalelog  26705  chtublem  26711  logfaclbnd  26722  bposlem1  26784  gausslemma2dlem1a  26865  dchrisum0lem1  27016  logdivbnd  27056  pntlemn  27100  ostth2lem3  27135  clwwisshclwwslem  29264  clwlknf1oclwwlknlem2  29332  clwlknf1oclwwlknlem3  29333  clwlknf1oclwwlkn  29334  nnmulge  31958  lmatfvlem  32790  eulerpartlems  33354  eulerpartlemb  33362  ballotlem2  33482  reprlt  33626  fz0n  34695  nndivlub  35338  knoppndvlem1  35383  knoppndvlem2  35384  knoppndvlem7  35389  knoppndvlem11  35393  knoppndvlem14  35396  lcmineqlem13  40901  aks4d1p7d1  40942  metakunt26  41005  fzsplit1nn0  41482  pell1qrgaplem  41601  pellqrex  41607  monotoddzzfi  41671  jm2.23  41725  sumnnodd  44336  dvnmul  44649  wallispilem4  44774  wallispilem5  44775  wallispi  44776  wallispi2lem1  44777  stirlinglem5  44784  stirlinglem13  44792  dirkertrigeqlem1  44804  fouriersw  44937  etransclem24  44964  iccpartigtl  46081  fmtnodvds  46202  lighneallem2  46264  logbpw2m1  47243  blennnelnn  47252  blenpw2m1  47255  dignnld  47279  itcovalt2lem2lem1  47349
  Copyright terms: Public domain W3C validator