Theorem nnge1 12294

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnge1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5147	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 1))
2		breq2 5147	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝑦))
3		breq2 5147	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
4		breq2 5147	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝐴))
5		1le1 11891	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
6		nnre 12273	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7		recn 11245	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11461	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
9	8	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ 1 ≤ 𝑦))
10		0lt1 11785	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11		0re 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		axltadd 11334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
14	11, 12, 13	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
15	10, 14	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1))
16		readdcl 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
17	11, 16	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
18		peano2re 11434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19		lttr 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
20	12, 19	mp3an3 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
22	15, 21	mpand 695	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) < 1 → (𝑦 + 0) < 1))
23	22	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ (𝑦 + 0) < 1 → ¬ (𝑦 + 1) < 1))
24		lenlt 11339	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
25	12, 17, 24	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
26		lenlt 11339	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
27	12, 18, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
28	23, 25, 27	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
29	9, 28	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
30	6, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 30	nnind 12284	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕcn 12266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267

This theorem is referenced by:  nngt1ne1  12295  nnle1eq1  12296  nngt0  12297  nnnlt1  12298  nnrecgt0  12309  nnge1d  12314  elnnnn0c  12571  zle0orge1  12630  elnnz1  12643  zltp1le  12667  nn0ledivnn  13148  fzo1fzo0n0  13754  elfzom1elp1fzo  13771  fzo0sn0fzo1  13794  addmodlteq  13987  nnlesq  14244  digit1  14276  expnngt1  14280  faclbnd  14329  faclbnd3  14331  faclbnd4lem1  14332  faclbnd4lem4  14335  len0nnbi  14589  fstwrdne0  14594  divalglem1  16431  coprmgcdb  16686  isprm3  16720  pockthg  16944  infpn2  16951  setsstruct  17213  chfacfpmmulgsum2  22871  dscmet  24585  ovolunlem1a  25531  vitali  25648  plyeq0lem  26249  logtayllem  26701  leibpi  26985  vmalelog  27249  chtublem  27255  logfaclbnd  27266  bposlem1  27328  gausslemma2dlem1a  27409  dchrisum0lem1  27560  logdivbnd  27600  pntlemn  27644  ostth2lem3  27679  clwwisshclwwslem  30033  clwlknf1oclwwlknlem2  30101  clwlknf1oclwwlknlem3  30102  clwlknf1oclwwlkn  30103  nnmulge  32749  lmatfvlem  33814  eulerpartlems  34362  eulerpartlemb  34370  ballotlem2  34491  reprlt  34634  fz0n  35731  nndivlub  36459  knoppndvlem1  36513  knoppndvlem2  36514  knoppndvlem7  36519  knoppndvlem11  36523  knoppndvlem14  36526  lcmineqlem13  42042  aks4d1p7d1  42083  metakunt26  42231  fzsplit1nn0  42765  pell1qrgaplem  42884  pellqrex  42890  monotoddzzfi  42954  jm2.23  43008  sumnnodd  45645  dvnmul  45958  wallispilem4  46083  wallispilem5  46084  wallispi  46085  wallispi2lem1  46086  stirlinglem5  46093  stirlinglem13  46101  dirkertrigeqlem1  46113  fouriersw  46246  etransclem24  46273  zplusmodne  47345  addmodne  47346  minusmod5ne  47351  iccpartigtl  47410  fmtnodvds  47531  lighneallem2  47593  gpg3kgrtriexlem3  48041  gpg3kgrtriexlem4  48042  gpg3kgrtriexlem6  48044  logbpw2m1  48488  blennnelnn  48497  blenpw2m1  48500  dignnld  48524  itcovalt2lem2lem1  48594