MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnge1 12186
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5110 . 2 (𝑥 = 1 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 1))
2 breq2 5110 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝑦))
3 breq2 5110 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
4 breq2 5110 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝐴))
5 1le1 11788 . 2 1 ≤ 1
6 nnre 12165 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7 recn 11146 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
87addid1d 11360 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
98breq2d 5118 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ 1 ≤ 𝑦))
10 0lt1 11682 . . . . . . . 8 0 < 1
11 0re 11162 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
12 1re 11160 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
13 axltadd 11233 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
1411, 12, 13mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
1510, 14mpi 20 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1))
16 readdcl 11139 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
1711, 16mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
18 peano2re 11333 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19 lttr 11236 . . . . . . . . 9 (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2012, 19mp3an3 1451 . . . . . . . 8 (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2117, 18, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
2215, 21mpand 694 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) < 1 → (𝑦 + 0) < 1))
2322con3d 152 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (¬ (𝑦 + 0) < 1 → ¬ (𝑦 + 1) < 1))
24 lenlt 11238 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
2512, 17, 24sylancr 588 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
26 lenlt 11238 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
2712, 18, 26sylancr 588 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
2823, 25, 273imtr4d 294 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
299, 28sylbird 260 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
306, 29syl 17 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 12176 1 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cn 12158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159
This theorem is referenced by:  nngt1ne1  12187  nnle1eq1  12188  nngt0  12189  nnnlt1  12190  nnrecgt0  12201  nnge1d  12206  elnnnn0c  12463  zle0orge1  12521  elnnz1  12534  zltp1le  12558  nn0ledivnn  13033  fzo1fzo0n0  13629  elfzom1elp1fzo  13645  fzo0sn0fzo1  13667  addmodlteq  13857  nnlesq  14115  digit1  14146  expnngt1  14150  faclbnd  14196  faclbnd3  14198  faclbnd4lem1  14199  faclbnd4lem4  14202  len0nnbi  14445  fstwrdne0  14450  divalglem1  16281  coprmgcdb  16530  isprm3  16564  pockthg  16783  infpn2  16790  setsstruct  17053  chfacfpmmulgsum2  22230  dscmet  23944  ovolunlem1a  24876  vitali  24993  plyeq0lem  25587  logtayllem  26030  leibpi  26308  vmalelog  26569  chtublem  26575  logfaclbnd  26586  bposlem1  26648  gausslemma2dlem1a  26729  dchrisum0lem1  26880  logdivbnd  26920  pntlemn  26964  ostth2lem3  26999  clwwisshclwwslem  29000  clwlknf1oclwwlknlem2  29068  clwlknf1oclwwlknlem3  29069  clwlknf1oclwwlkn  29070  nnmulge  31702  lmatfvlem  32453  eulerpartlems  33017  eulerpartlemb  33025  ballotlem2  33145  reprlt  33289  fz0n  34359  nndivlub  34976  knoppndvlem1  35021  knoppndvlem2  35022  knoppndvlem7  35027  knoppndvlem11  35031  knoppndvlem14  35034  lcmineqlem13  40544  aks4d1p7d1  40585  metakunt26  40648  fzsplit1nn0  41120  pell1qrgaplem  41239  pellqrex  41245  monotoddzzfi  41309  jm2.23  41363  sumnnodd  43957  dvnmul  44270  wallispilem4  44395  wallispilem5  44396  wallispi  44397  wallispi2lem1  44398  stirlinglem5  44405  stirlinglem13  44413  dirkertrigeqlem1  44425  fouriersw  44558  etransclem24  44585  iccpartigtl  45701  fmtnodvds  45822  lighneallem2  45884  logbpw2m1  46739  blennnelnn  46748  blenpw2m1  46751  dignnld  46775  itcovalt2lem2lem1  46845
  Copyright terms: Public domain W3C validator