Theorem nnge1 12156

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnge1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5096	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 1))
2		breq2 5096	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝑦))
3		breq2 5096	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
4		breq2 5096	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝐴))
5		1le1 11748	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
6		nnre 12135	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7		recn 11099	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11316	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
9	8	breq2d 5104	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ 1 ≤ 𝑦))
10		0lt1 11642	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11		0re 11117	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		axltadd 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
14	11, 12, 13	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
15	10, 14	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1))
16		readdcl 11092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
17	11, 16	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
18		peano2re 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19		lttr 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
20	12, 19	mp3an3 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
22	15, 21	mpand 695	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) < 1 → (𝑦 + 0) < 1))
23	22	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ (𝑦 + 0) < 1 → ¬ (𝑦 + 1) < 1))
24		lenlt 11194	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
25	12, 17, 24	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
26		lenlt 11194	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
27	12, 18, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
28	23, 25, 27	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
29	9, 28	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
30	6, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 30	nnind 12146	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕcn 12128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129

This theorem is referenced by:  nngt1ne1  12157  nnle1eq1  12158  nngt0  12159  nnnlt1  12160  nnrecgt0  12171  nnge1d  12176  elnnnn0c  12429  zle0orge1  12488  elnnz1  12501  zltp1le  12525  nn0ledivnn  13008  fzo1fzo0n0  13618  elfzom1elp1fzo  13635  fzo0sn0fzo1  13658  addmodlteq  13853  nnlesq  14112  digit1  14144  expnngt1  14148  faclbnd  14197  faclbnd3  14199  faclbnd4lem1  14200  faclbnd4lem4  14203  len0nnbi  14458  fstwrdne0  14463  divalglem1  16305  coprmgcdb  16560  isprm3  16594  pockthg  16818  infpn2  16825  setsstruct  17087  chfacfpmmulgsum2  22750  dscmet  24458  ovolunlem1a  25395  vitali  25512  plyeq0lem  26113  logtayllem  26566  leibpi  26850  vmalelog  27114  chtublem  27120  logfaclbnd  27131  bposlem1  27193  gausslemma2dlem1a  27274  dchrisum0lem1  27425  logdivbnd  27465  pntlemn  27509  ostth2lem3  27544  clwwisshclwwslem  29958  clwlknf1oclwwlknlem2  30026  clwlknf1oclwwlknlem3  30027  clwlknf1oclwwlkn  30028  nnmulge  32682  lmatfvlem  33782  eulerpartlems  34328  eulerpartlemb  34336  ballotlem2  34457  reprlt  34587  fz0n  35704  nndivlub  36432  knoppndvlem1  36486  knoppndvlem2  36487  knoppndvlem7  36492  knoppndvlem11  36496  knoppndvlem14  36499  lcmineqlem13  42014  aks4d1p7d1  42055  fzsplit1nn0  42727  pell1qrgaplem  42846  pellqrex  42852  monotoddzzfi  42915  jm2.23  42969  sumnnodd  45611  dvnmul  45924  wallispilem4  46049  wallispilem5  46050  wallispi  46051  wallispi2lem1  46052  stirlinglem5  46059  stirlinglem13  46067  dirkertrigeqlem1  46079  fouriersw  46212  etransclem24  46239  zplusmodne  47327  addmodne  47328  minusmod5ne  47333  iccpartigtl  47407  fmtnodvds  47528  lighneallem2  47590  gpg3kgrtriexlem3  48069  gpg3kgrtriexlem4  48070  gpg3kgrtriexlem6  48072  logbpw2m1  48552  blennnelnn  48561  blenpw2m1  48564  dignnld  48588  itcovalt2lem2lem1  48658