Theorem nnge1 12185

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnge1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nnge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5104	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 1))
2		breq2 5104	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝑦))
3		breq2 5104	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
4		breq2 5104	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ 𝐴))
5		1le1 11777	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
6		nnre 12164	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
7		recn 11128	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	addridd 11345	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
9	8	breq2d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ 1 ≤ 𝑦))
10		0lt1 11671	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11		0re 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		axltadd 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
14	11, 12, 13	mp3an12 1454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 < 1 → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1)))
15	10, 14	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) < (𝑦 + 1))
16		readdcl 11121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
17	11, 16	mpan2 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 0) ∈ ℝ)
18		peano2re 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19		lttr 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
20	12, 19	mp3an3 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 + 0) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
21	17, 18, 20	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦 + 0) < (𝑦 + 1) ∧ (𝑦 + 1) < 1) → (𝑦 + 0) < 1))
22	15, 21	mpand 696	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 + 1) < 1 → (𝑦 + 0) < 1))
23	22	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ (𝑦 + 0) < 1 → ¬ (𝑦 + 1) < 1))
24		lenlt 11223	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 0) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
25	12, 17, 24	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) ↔ ¬ (𝑦 + 0) < 1))
26		lenlt 11223	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
27	12, 18, 26	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 1) ↔ ¬ (𝑦 + 1) < 1))
28	23, 25, 27	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑦 + 0) → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
29	9, 28	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
30	6, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑦 → 1 ≤ (𝑦 + 1)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 30	nnind 12175	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158

This theorem is referenced by:  nngt1ne1  12186  nnle1eq1  12187  nngt0  12188  nnnlt1  12189  nnrecgt0  12200  nnge1d  12205  elnnnn0c  12458  zle0orge1  12517  elnnz1  12529  zltp1le  12553  nn0ledivnn  13032  fzo1fzo0n0  13643  elfzom1elp1fzo  13660  fzo0sn0fzo1  13683  addmodlteq  13881  nnlesq  14140  digit1  14172  expnngt1  14176  faclbnd  14225  faclbnd3  14227  faclbnd4lem1  14228  faclbnd4lem4  14231  len0nnbi  14486  fstwrdne0  14491  divalglem1  16333  coprmgcdb  16588  isprm3  16622  pockthg  16846  infpn2  16853  setsstruct  17115  chfacfpmmulgsum2  22821  dscmet  24528  ovolunlem1a  25465  vitali  25582  plyeq0lem  26183  logtayllem  26636  leibpi  26920  vmalelog  27184  chtublem  27190  logfaclbnd  27201  bposlem1  27263  gausslemma2dlem1a  27344  dchrisum0lem1  27495  logdivbnd  27535  pntlemn  27579  ostth2lem3  27614  clwwisshclwwslem  30101  clwlknf1oclwwlknlem2  30169  clwlknf1oclwwlknlem3  30170  clwlknf1oclwwlkn  30171  nnmulge  32829  lmatfvlem  33993  eulerpartlems  34538  eulerpartlemb  34546  ballotlem2  34667  reprlt  34797  fz0n  35947  nndivlub  36674  knoppndvlem1  36734  knoppndvlem2  36735  knoppndvlem7  36740  knoppndvlem11  36744  knoppndvlem14  36747  lcmineqlem13  42411  aks4d1p7d1  42452  fzsplit1nn0  43111  pell1qrgaplem  43230  pellqrex  43236  monotoddzzfi  43299  jm2.23  43353  sumnnodd  45990  dvnmul  46301  wallispilem4  46426  wallispilem5  46427  wallispi  46428  wallispi2lem1  46429  stirlinglem5  46436  stirlinglem13  46444  dirkertrigeqlem1  46456  fouriersw  46589  etransclem24  46616  zplusmodne  47703  addmodne  47704  minusmod5ne  47709  iccpartigtl  47783  fmtnodvds  47904  lighneallem2  47966  gpg3kgrtriexlem3  48445  gpg3kgrtriexlem4  48446  gpg3kgrtriexlem6  48448  logbpw2m1  48927  blennnelnn  48936  blenpw2m1  48939  dignnld  48963  itcovalt2lem2lem1  49033