Theorem dp2lt 33141

Description: Comparing two decimal fractions (equal unit places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ+
dp2lt.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2lt	⊢ _𝐴𝐵 < _𝐴𝐶

Proof of Theorem dp2lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 13020	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		dp2lt.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3	1, 2	sselii 3942	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		10re 12730	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
5		0re 11206	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		10pos 12728	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
7	5, 6	gtneii 11318	. . . . 5 ⊢ ;10 ≠ 0
8		redivcl 11930	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
9	3, 4, 7, 8	mp3an 1487	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
10		dp2lt.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ+
11	1, 10	sselii 3942	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
12		redivcl 11930	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐶 / ;10) ∈ ℝ)
13	11, 4, 7, 12	mp3an 1487	. . . 4 ⊢ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ
14		dp2lt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 12511	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
16	9, 13, 15	3pm3.2i 1356	. . 3 ⊢ ((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
17		dp2lt.l	. . . 4 ⊢ 𝐵 < 𝐶
18	4, 6	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
19		ltdiv1 12075	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)))
20	3, 11, 18, 19	mp3an 1487	. . . 4 ⊢ (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10))
21	17, 20	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)
22		axltadd 11279	. . . 4 ⊢ (((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10))))
23	22	imp 411	. . 3 ⊢ ((((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10)))
24	16, 21, 23	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10))
25		df-dp2 33128	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
26		df-dp2 33128	. 2 ⊢ _𝐴𝐶 = (𝐴 + (𝐶 / ;10))
27	24, 25, 26	3brtr4i 5142	1 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐴𝐶

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   / cdiv 11867  ℕ₀cn0 12500  ;cdc 12707  ℝ⁺crp 13012  _cdp2 33127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-dec 12708  df-rp 13013  df-dp2 33128

This theorem is referenced by:  dplt  33160  hgt750lem2  34980