Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2lt 32621
Description: Comparing two decimal fractions (equal unit places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt.c 𝐶 ∈ ℝ+
dp2lt.l 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
dp2lt 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶

Proof of Theorem dp2lt
StepHypRef Expression
1 rpssre 13014 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
2 dp2lt.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ+
31, 2sselii 3977 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ
4 10re 12727 . . . . 5 10 ∈ ℝ
5 0re 11247 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 10pos 12725 . . . . . 6 0 < 10
75, 6gtneii 11357 . . . . 5 10 ≠ 0
8 redivcl 11964 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ ∧ 10 ≠ 0) → (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
93, 4, 7, 8mp3an 1458 . . . 4 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
10 dp2lt.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ+
111, 10sselii 3977 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
12 redivcl 11964 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ ∧ 10 ≠ 0) → (𝐶 / 10) ∈ ℝ)
1311, 4, 7, 12mp3an 1458 . . . 4 (𝐶 / 10) ∈ ℝ
14 dp2lt.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
1514nn0rei 12514 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
169, 13, 153pm3.2i 1337 . . 3 ((𝐵 / 10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
17 dp2lt.l . . . 4 𝐵 < 𝐶
184, 6pm3.2i 470 . . . . 5 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
19 ltdiv1 12109 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / 10) < (𝐶 / 10)))
203, 11, 18, 19mp3an 1458 . . . 4 (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / 10) < (𝐶 / 10))
2117, 20mpbi 229 . . 3 (𝐵 / 10) < (𝐶 / 10)
22 axltadd 11318 . . . 4 (((𝐵 / 10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 10) < (𝐶 / 10) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + (𝐶 / 10))))
2322imp 406 . . 3 ((((𝐵 / 10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 / 10) < (𝐶 / 10)) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + (𝐶 / 10)))
2416, 21, 23mp2an 691 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + (𝐶 / 10))
25 df-dp2 32608 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
26 df-dp2 32608 . 2 𝐴𝐶 = (𝐴 + (𝐶 / 10))
2724, 25, 263brtr4i 5178 1 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1085  wcel 2099  wne 2937   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279   / cdiv 11902  0cn0 12503  cdc 12708  +crp 13007  cdp2 32607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-dec 12709  df-rp 13008  df-dp2 32608
This theorem is referenced by:  dplt  32640  hgt750lem2  34284
  Copyright terms: Public domain W3C validator