Theorem dp2lt 33547

Description: Comparing two decimal fractions (equal unit places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ+
dp2lt.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2lt	⊢ _𝐴𝐵 < _𝐴𝐶

Proof of Theorem dp2lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 13168	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		dp2lt.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3	1, 2	sselii 3910	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		10re 12877	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
5		0re 11349	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		10pos 12875	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
7	5, 6	gtneii 11461	. . . . 5 ⊢ ;10 ≠ 0
8		redivcl 12076	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
9	3, 4, 7, 8	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
10		dp2lt.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ+
11	1, 10	sselii 3910	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
12		redivcl 12076	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐶 / ;10) ∈ ℝ)
13	11, 4, 7, 12	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ
14		dp2lt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 12657	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
16	9, 13, 15	3pm3.2i 1358	. . 3 ⊢ ((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
17		dp2lt.l	. . . 4 ⊢ 𝐵 < 𝐶
18	4, 6	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
19		ltdiv1 12221	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)))
20	3, 11, 18, 19	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10))
21	17, 20	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)
22		axltadd 11422	. . . 4 ⊢ (((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10))))
23	22	imp 412	. . 3 ⊢ ((((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10)))
24	16, 21, 23	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10))
25		df-dp2 33534	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
26		df-dp2 33534	. 2 ⊢ _𝐴𝐶 = (𝐴 + (𝐶 / ;10))
27	24, 25, 26	3brtr4i 5141	1 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐴𝐶

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   / cdiv 12013  ℕ₀cn0 12646  ;cdc 12854  ℝ⁺crp 13160  _cdp2 33533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-dec 12855  df-rp 13161  df-dp2 33534

This theorem is used by:  dplt  33566  hgt750lem2  35392