Theorem dp2lt 33233

Description: Comparing two decimal fractions (equal unit places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ+
dp2lt.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2lt	⊢ _𝐴𝐵 < _𝐴𝐶

Proof of Theorem dp2lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 13035	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		dp2lt.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3	1, 2	sselii 3935	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		10re 12745	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
5		0re 11221	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		10pos 12743	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
7	5, 6	gtneii 11333	. . . . 5 ⊢ ;10 ≠ 0
8		redivcl 11945	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
9	3, 4, 7, 8	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
10		dp2lt.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ+
11	1, 10	sselii 3935	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
12		redivcl 11945	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐶 / ;10) ∈ ℝ)
13	11, 4, 7, 12	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ
14		dp2lt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 12526	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
16	9, 13, 15	3pm3.2i 1358	. . 3 ⊢ ((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
17		dp2lt.l	. . . 4 ⊢ 𝐵 < 𝐶
18	4, 6	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
19		ltdiv1 12090	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)))
20	3, 11, 18, 19	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10))
21	17, 20	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)
22		axltadd 11294	. . . 4 ⊢ (((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10))))
23	22	imp 412	. . 3 ⊢ ((((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10)))
24	16, 21, 23	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10))
25		df-dp2 33220	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
26		df-dp2 33220	. 2 ⊢ _𝐴𝐶 = (𝐴 + (𝐶 / ;10))
27	24, 25, 26	3brtr4i 5143	1 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐴𝐶

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   < clt 11254   / cdiv 11882  ℕ₀cn0 12515  ;cdc 12722  ℝ⁺crp 13027  _cdp2 33219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-dec 12723  df-rp 13028  df-dp2 33220

This theorem is used by:  dplt  33252  hgt750lem2  35063