Theorem dp2lt 32949

Description: Comparing two decimal fractions (equal unit places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ+
dp2lt.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2lt	⊢ _𝐴𝐵 < _𝐴𝐶

Proof of Theorem dp2lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 12914	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		dp2lt.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3	1, 2	sselii 3919	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		10re 12627	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
5		0re 11135	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		10pos 12625	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
7	5, 6	gtneii 11246	. . . . 5 ⊢ ;10 ≠ 0
8		redivcl 11861	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
9	3, 4, 7, 8	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
10		dp2lt.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ+
11	1, 10	sselii 3919	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
12		redivcl 11861	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐶 / ;10) ∈ ℝ)
13	11, 4, 7, 12	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ
14		dp2lt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 12413	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
16	9, 13, 15	3pm3.2i 1341	. . 3 ⊢ ((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
17		dp2lt.l	. . . 4 ⊢ 𝐵 < 𝐶
18	4, 6	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
19		ltdiv1 12007	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)))
20	3, 11, 18, 19	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10))
21	17, 20	mpbi 230	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)
22		axltadd 11207	. . . 4 ⊢ (((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10))))
23	22	imp 406	. . 3 ⊢ ((((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10)))
24	16, 21, 23	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10))
25		df-dp2 32936	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
26		df-dp2 32936	. 2 ⊢ _𝐴𝐶 = (𝐴 + (𝐶 / ;10))
27	24, 25, 26	3brtr4i 5116	1 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐴𝐶

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11167   / cdiv 11795  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12608  ℝ⁺crp 12906  _cdp2 32935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-dec 12609  df-rp 12907  df-dp2 32936

This theorem is referenced by:  dplt  32968  hgt750lem2  34802