Theorem dp2lt 31138

Description: Comparing two decimal fractions (equal unit places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ+
dp2lt.l	⊢ 𝐵 < 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2lt	⊢ _𝐴𝐵 < _𝐴𝐶

Proof of Theorem dp2lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 12719	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		dp2lt.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3	1, 2	sselii 3922	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		10re 12438	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
5		0re 10961	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		10pos 12436	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
7	5, 6	gtneii 11070	. . . . 5 ⊢ ;10 ≠ 0
8		redivcl 11677	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐵 / ;10) ∈ ℝ)
9	3, 4, 7, 8	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
10		dp2lt.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ+
11	1, 10	sselii 3922	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
12		redivcl 11677	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ;10 ∈ ℝ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐶 / ;10) ∈ ℝ)
13	11, 4, 7, 12	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ
14		dp2lt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
15	14	nn0rei 12227	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
16	9, 13, 15	3pm3.2i 1337	. . 3 ⊢ ((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
17		dp2lt.l	. . . 4 ⊢ 𝐵 < 𝐶
18	4, 6	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)
19		ltdiv1 11822	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (;10 ∈ ℝ ∧ 0 < ;10)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)))
20	3, 11, 18, 19	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10))
21	17, 20	mpbi 229	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)
22		axltadd 11032	. . . 4 ⊢ (((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10))))
23	22	imp 406	. . 3 ⊢ ((((𝐵 / ;10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / ;10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 / ;10) < (𝐶 / ;10)) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10)))
24	16, 21, 23	mp2an 688	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + (𝐶 / ;10))
25		df-dp2 31125	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
26		df-dp2 31125	. 2 ⊢ _𝐴𝐶 = (𝐴 + (𝐶 / ;10))
27	24, 25, 26	3brtr4i 5108	1 ⊢ _𝐴𝐵 < _𝐴𝐶

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   < clt 10993   / cdiv 11615  ℕ₀cn0 12216  ;cdc 12419  ℝ⁺crp 12712  _cdp2 31124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-dec 12420  df-rp 12713  df-dp2 31125

This theorem is referenced by:  dplt  31157  hgt750lem2  32611