Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2lt 32544
Description: Comparing two decimal fractions (equal unit places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt.c 𝐶 ∈ ℝ+
dp2lt.l 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
dp2lt 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶

Proof of Theorem dp2lt
StepHypRef Expression
1 rpssre 12982 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
2 dp2lt.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ+
31, 2sselii 3972 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ
4 10re 12695 . . . . 5 10 ∈ ℝ
5 0re 11215 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 10pos 12693 . . . . . 6 0 < 10
75, 6gtneii 11325 . . . . 5 10 ≠ 0
8 redivcl 11932 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ ∧ 10 ≠ 0) → (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
93, 4, 7, 8mp3an 1457 . . . 4 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
10 dp2lt.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ+
111, 10sselii 3972 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
12 redivcl 11932 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ ∧ 10 ≠ 0) → (𝐶 / 10) ∈ ℝ)
1311, 4, 7, 12mp3an 1457 . . . 4 (𝐶 / 10) ∈ ℝ
14 dp2lt.a . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
1514nn0rei 12482 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
169, 13, 153pm3.2i 1336 . . 3 ((𝐵 / 10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
17 dp2lt.l . . . 4 𝐵 < 𝐶
184, 6pm3.2i 470 . . . . 5 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
19 ltdiv1 12077 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / 10) < (𝐶 / 10)))
203, 11, 18, 19mp3an 1457 . . . 4 (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 / 10) < (𝐶 / 10))
2117, 20mpbi 229 . . 3 (𝐵 / 10) < (𝐶 / 10)
22 axltadd 11286 . . . 4 (((𝐵 / 10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 10) < (𝐶 / 10) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + (𝐶 / 10))))
2322imp 406 . . 3 ((((𝐵 / 10) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 10) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 / 10) < (𝐶 / 10)) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + (𝐶 / 10)))
2416, 21, 23mp2an 689 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + (𝐶 / 10))
25 df-dp2 32531 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
26 df-dp2 32531 . 2 𝐴𝐶 = (𝐴 + (𝐶 / 10))
2724, 25, 263brtr4i 5169 1 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1084  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11247   / cdiv 11870  0cn0 12471  cdc 12676  +crp 12975  cdp2 32530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677  df-rp 12976  df-dp2 32531
This theorem is referenced by:  dplt  32563  hgt750lem2  34183
  Copyright terms: Public domain W3C validator