Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrtpwpw2p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtpwpw2p 47525
Description: The floor of the square root of 2 to the power of 2 to the power of a positive integer plus a bounded nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrtpwpw2p ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem sqrtpwpw2p
StepHypRef Expression
1 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 npcan1 11688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
54eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
65oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) = (2↑((𝑁 − 1) + 1)))
7 2cnd 12344 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
107, 9expp1d 14187 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
116, 10eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
1211oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
13 2nn0 12543 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
1513a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
1615, 8nn0expcld 14285 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
187, 14, 17expmuld 14189 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
1912, 18eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
20 nn0ge0 12551 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
2120adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
22 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2315, 22nn0expcld 14285 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
2415, 23nn0expcld 14285 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
2524nn0red 12588 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
26 nn0re 12535 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
2725, 26anim12i 613 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
28 addge01 11773 . . . . . . . . 9 (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
3021, 29mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
3119, 30eqbrtrrd 5167 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
3224adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
33 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3432, 33nn0addcld 12591 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0)
35 nn0re 12535 . . . . . . . . 9 (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
36 nn0ge0 12551 . . . . . . . . 9 (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
3735, 36jca 511 . . . . . . . 8 (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
3834, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
39 resqrtth 15294 . . . . . . 7 ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
4038, 39syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
4131, 40breqtrrd 5171 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2))
4215, 16nn0expcld 14285 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
43 nn0re 12535 . . . . . . . . 9 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
44 nn0ge0 12551 . . . . . . . . 9 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
4543, 44jca 511 . . . . . . . 8 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
4746adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
48 resqrtcl 15292 . . . . . . 7 ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
4938, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
50 sqrtge0 15296 . . . . . . 7 ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
5138, 50syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
52 le2sq 14174 . . . . . 6 ((((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∧ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
5347, 49, 51, 52syl12anc 837 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
5441, 53mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
55543adant3 1133 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
5626adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
57 peano2nn0 12566 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
5816, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
5915, 58nn0expcld 14285 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
6059adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
61 peano2nn0 12566 . . . . . . . . . 10 ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ0)
6362nn0red 12588 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
6432nn0red 12588 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
65 axltadd 11334 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
6656, 63, 64, 65syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
67663impia 1118 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
6824nn0cnd 12589 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
69683ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
7059nn0cnd 12589 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
71703ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
72 1cnd 11256 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → 1 ∈ ℂ)
7369, 71, 72addassd 11283 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
7467, 73breqtrrd 5171 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
7542nn0cnd 12589 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76 binom21 14258 . . . . . . . . . 10 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
78 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7978, 15, 16expmuld 14189 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
8078, 8expp1d 14187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
811, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8281oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
8380, 82eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
8483oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
8579, 84eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
8678, 75mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
8778, 16expp1d 14187 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
8886, 87eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
8985, 88oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))))
9089oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
9177, 90eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
9291adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
9340, 92breq12d 5156 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
94933adant3 1133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
9574, 94mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
9634nn0red 12588 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
97 nn0ge0 12551 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
9824, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
9998, 20anim12i 613 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀))
10027, 99jca 511 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)))
101 addge0 11752 . . . . . . . 8 ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
102100, 101syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
10396, 102resqrtcld 15456 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
104 peano2nn0 12566 . . . . . . . . 9 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
10542, 104syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
106 nn0re 12535 . . . . . . . . 9 (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
107 nn0ge0 12551 . . . . . . . . 9 (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
108106, 107jca 511 . . . . . . . 8 (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
109105, 108syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
110109adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
111 lt2sq 14173 . . . . . 6 ((((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) ∧ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
112103, 51, 110, 111syl21anc 838 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
1131123adant3 1133 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
11495, 113mpbird 257 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
11555, 114jca 511 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
11642nn0zd 12639 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
117116adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
11849, 117jca 511 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
1191183adant3 1133 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
120 flbi 13856 . . 3 (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
121119, 120syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
122115, 121mpbird 257 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cfl 13830  cexp 14102  csqrt 15272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274
This theorem is referenced by:  fmtnosqrt  47526
  Copyright terms: Public domain W3C validator