sqrtpwpw2p - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem sqrtpwpw2p 47892

Description: The floor of the square root of 2 to the power of 2 to the power of a positive integer plus a bounded nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
sqrtpwpw2p	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

**Proof of Theorem sqrtpwpw2p**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		npcan1 11574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6	5	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑁) = (2↑((𝑁 − 1) + 1)))
7		2cnd 12235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 2 ∈ ℂ)
8		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
10	7, 9	expp1d 14082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
11	6, 10	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
12	11	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑(2↑𝑁)) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
13		2nn0 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 2 ∈ ℕ₀)
15	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
16	15, 8	nn0expcld 14181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
18	7, 14, 17	expmuld 14084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
19	12, 18	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
20		nn0ge0 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝑀)
22		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
23	15, 22	nn0expcld 14181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ₀)
24	15, 23	nn0expcld 14181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ₀)
25	24	nn0red 12475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
26		nn0re 12422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → 𝑀 ∈ ℝ)
27	25, 26	anim12i 614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
28		addge01 11659	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
30	21, 29	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
31	19, 30	eqbrtrrd 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
32	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ₀)
33		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
34	32, 33	nn0addcld 12478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ₀)
35		nn0re 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ₀ → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
36		nn0ge0 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ₀ → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
37	35, 36	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ₀ → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
38	34, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
39		resqrtth 15190	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
41	31, 40	breqtrrd 5128	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2))
42	15, 16	nn0expcld 14181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ₀)
43		nn0re 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ₀ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
44		nn0ge0 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ₀ → 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
45	43, 44	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ₀ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
48		resqrtcl 15188	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
49	38, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
50		sqrtge0 15192	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
51	38, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
52		le2sq 14069	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∧ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
53	47, 49, 51, 52	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
54	41, 53	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
55	54	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
56	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℝ)
57		peano2nn0 12453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ₀)
58	16, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ₀)
59	15, 58	nn0expcld 14181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ₀)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ₀)
61		peano2nn0 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ₀ → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ₀)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ₀)
63	62	nn0red 12475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
64	32	nn0red 12475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
65		axltadd 11218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
66	56, 63, 64, 65	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
67	66	3impia 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
68	24	nn0cnd 12476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
69	68	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
70	59	nn0cnd 12476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
71	70	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
72		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → 1 ∈ ℂ)
73	69, 71, 72	addassd 11166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
74	67, 73	breqtrrd 5128	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
75	42	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76		binom21 14154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
78		2cnd 12235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
79	78, 15, 16	expmuld 14084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
80	78, 8	expp1d 14082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
81	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
82	81	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
83	80, 82	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
84	83	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
85	79, 84	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
86	78, 75	mulcomd 11165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
87	78, 16	expp1d 14082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
88	86, 87	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
89	85, 88	oveq12d 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))))
90	89	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
91	77, 90	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
92	91	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
93	40, 92	breq12d 5113	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
94	93	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
95	74, 94	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
96	34	nn0red 12475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
97		nn0ge0 12438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ₀ → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
98	24, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
99	98, 20	anim12i 614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀))
100	27, 99	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)))
101		addge0 11638	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
102	100, 101	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
103	96, 102	resqrtcld 15353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
104		peano2nn0 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ₀ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀)
105	42, 104	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀)
106		nn0re 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
107		nn0ge0 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀ → 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
108	106, 107	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ₀ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
109	105, 108	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
110	109	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
111		lt2sq 14068	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) ∧ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
112	103, 51, 110, 111	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
113	112	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
114	95, 113	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
115	55, 114	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
116	42	nn0zd 12525	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
117	116	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
118	49, 117	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
119	118	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
120		flbi 13748	. . 3 ⊢ (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
121	119, 120	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
122	115, 121	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 class class class wbr 5100 ‘cfv 6500 (class class class)co 7368 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 < clt 11178 ≤ cle 11179 − cmin 11376 ℕcn 12157 2c2 12212 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12500 ⌊cfl 13722 ↑cexp 13996 √csqrt 15168

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-om 7819 df-2nd 7944 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-er 8645 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-sup 9357 df-inf 9358 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-n0 12414 df-z 12501 df-uz 12764 df-rp 12918 df-fl 13724 df-seq 13937 df-exp 13997 df-cj 15034 df-re 15035 df-im 15036 df-sqrt 15170

This theorem is referenced by: fmtnosqrt 47893

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