Theorem sqrtpwpw2p 48716

Description: The floor of the square root of 2 to the power of 2 to the power of a positive integer plus a bounded nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtpwpw2p	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem sqrtpwpw2p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		npcan1 11744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6	5	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) = (2↑((𝑁 − 1) + 1)))
7		2cnd 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8		nnm1nn0 12650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10	7, 9	expp1d 14293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
11	6, 10	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
12	11	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
13		2nn0 12626	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
15	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
16	15, 8	nn0expcld 14393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
18	7, 14, 17	expmuld 14295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
19	12, 18	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
20		nn0ge0 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
22		nnnn0 12616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	15, 22	nn0expcld 14393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
24	15, 23	nn0expcld 14393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0red 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
26		nn0re 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
27	25, 26	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
28		addge01 11829	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
30	21, 29	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
31	19, 30	eqbrtrrd 5128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
32	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
33		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
34	32, 33	nn0addcld 12674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0)
35		nn0re 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
36		nn0ge0 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
37	35, 36	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
38	34, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
39		resqrtth 15427	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
40	38, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
41	31, 40	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2))
42	15, 16	nn0expcld 14393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
43		nn0re 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
44		nn0ge0 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
45	43, 44	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
46	42, 45	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
47	46	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
48		resqrtcl 15425	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
49	38, 48	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
50		sqrtge0 15429	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
51	38, 50	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
52		le2sq 14280	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∧ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
53	47, 49, 51, 52	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
54	41, 53	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
55	54	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
56	26	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
57		peano2nn0 12649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
58	16, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
59	15, 58	nn0expcld 14393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
60	59	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
61		peano2nn0 12649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ0)
62	60, 61	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ0)
63	62	nn0red 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
64	32	nn0red 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
65		axltadd 11386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
66	56, 63, 64, 65	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
67	66	3impia 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
68	24	nn0cnd 12672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
69	68	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
70	59	nn0cnd 12672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
71	70	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
72		1cnd 11305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → 1 ∈ ℂ)
73	69, 71, 72	addassd 11334	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
74	67, 73	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
75	42	nn0cnd 12672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76		binom21 14366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
77	75, 76	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
78		2cnd 12424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
79	78, 15, 16	expmuld 14295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
80	78, 8	expp1d 14293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
81	1, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
82	81	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
83	80, 82	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
84	83	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
85	79, 84	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
86	78, 75	mulcomd 11333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
87	78, 16	expp1d 14293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
88	86, 87	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
89	85, 88	oveq12d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))))
90	89	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
91	77, 90	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
92	91	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
93	40, 92	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
94	93	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
95	74, 94	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
96	34	nn0red 12671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
97		nn0ge0 12634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
98	24, 97	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
99	98, 20	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀))
100	27, 99	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)))
101		addge0 11808	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
102	100, 101	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
103	96, 102	resqrtcld 15590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
104		peano2nn0 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
105	42, 104	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
106		nn0re 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
107		nn0ge0 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
108	106, 107	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
109	105, 108	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
110	109	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
111		lt2sq 14279	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) ∧ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
112	103, 51, 110, 111	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
113	112	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
114	95, 113	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
115	55, 114	jca 521	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
116	42	nn0zd 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
117	116	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
118	49, 117	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
119	118	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
120		flbi 13959	. . 3 ⊢ (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
121	119, 120	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
122	115, 121	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544  ℕcn 12338  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ⌊cfl 13933  ↑cexp 14207  √csqrt 15405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407

This theorem is used by:  fmtnosqrt  48717