Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrtpwpw2p Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sqrtpwpw2p 46504
Description: The floor of the square root of 2 to the power of 2 to the power of a positive integer plus a bounded nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrtpwpw2p ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))) = (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
Proof of Theorem sqrtpwpw2p
StepHypRef Expression
1 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 npcan1 11643 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
54eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
65oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))
7 2cnd 12294 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
98adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
107, 9expp1d 14116 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
116, 10eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
1211oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) = (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2)))
13 2nn0 12493 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1513a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1615, 8nn0expcld 14213 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
1716adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
187, 14, 17expmuld 14118 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2)) = ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2))
1912, 18eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) = ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2))
20 nn0ge0 12501 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
2120adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
22 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2315, 22nn0expcld 14213 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•0)
2415, 23nn0expcld 14213 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•0)
2524nn0red 12537 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
26 nn0re 12485 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
2725, 26anim12i 611 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„))
28 addge01 11728 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘€ โ†” (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘€ โ†” (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
3021, 29mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
3119, 30eqbrtrrd 5171 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
3224adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•0)
33 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
3432, 33nn0addcld 12540 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
35 nn0re 12485 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„)
36 nn0ge0 12501 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
3735, 36jca 510 . . . . . . . 8 (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
3834, 37syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
39 resqrtth 15206 . . . . . . 7 ((((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) = ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
4038, 39syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) = ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
4131, 40breqtrrd 5175 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2))
4215, 16nn0expcld 14213 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
43 nn0re 12485 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
44 nn0ge0 12501 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
4543, 44jca 510 . . . . . . . 8 ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
4746adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
48 resqrtcl 15204 . . . . . . 7 ((((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โ†’ (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„)
4938, 48syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„)
50 sqrtge0 15208 . . . . . . 7 ((((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
5138, 50syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
52 le2sq 14103 . . . . . 6 ((((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆง ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2)))
5347, 49, 51, 52syl12anc 833 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2)))
5441, 53mpbird 256 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
55543adant3 1130 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
5626adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
57 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . 13 ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1) โˆˆ โ„•0)
5816, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1) โˆˆ โ„•0)
5915, 58nn0expcld 14213 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) โˆˆ โ„•0)
6059adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) โˆˆ โ„•0)
61 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . 10 ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โˆˆ โ„•0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โˆˆ โ„•0)
6362nn0red 12537 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โˆˆ โ„)
6432nn0red 12537 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
65 axltadd 11291 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1))))
6656, 63, 64, 65syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1))))
67663impia 1115 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
6824nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
69683ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
7059nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) โˆˆ โ„‚)
71703ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) โˆˆ โ„‚)
72 1cnd 11213 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7369, 71, 72addassd 11240 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1) = ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
7467, 73breqtrrd 5175 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1))
7542nn0cnd 12538 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
76 binom21 14186 . . . . . . . . . 10 ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) = ((((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) + (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) + 1))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) = ((((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) + (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) + 1))
78 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7978, 15, 16expmuld 14118 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2)) = ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2))
8078, 8expp1d 14116 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
811, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
8281oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (2โ†‘๐‘))
8380, 82eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2) = (2โ†‘๐‘))
8483oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2)) = (2โ†‘(2โ†‘๐‘)))
8579, 84eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) = (2โ†‘(2โ†‘๐‘)))
8678, 75mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท 2))
8778, 16expp1d 14116 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) = ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท 2))
8886, 87eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)))
8985, 88oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) + (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) = ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))))
9089oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) + (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) + 1) = (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1))
9177, 90eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) = (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1))
9291adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) = (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1))
9340, 92breq12d 5160 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1)))
94933adant3 1130 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1)))
9574, 94mpbird 256 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2))
9634nn0red 12537 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„)
97 nn0ge0 12501 . . . . . . . . . . 11 ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘๐‘)))
9824, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘๐‘)))
9998, 20anim12i 611 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆง 0 โ‰ค ๐‘€))
10027, 99jca 510 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆง 0 โ‰ค ๐‘€)))
101 addge0 11707 . . . . . . . 8 ((((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆง 0 โ‰ค ๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
102100, 101syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
10396, 102resqrtcld 15368 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„)
104 peano2nn0 12516 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0)
10542, 104syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0)
106 nn0re 12485 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„)
107 nn0ge0 12501 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1))
108106, 107jca 510 . . . . . . . 8 (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)))
109105, 108syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)))
110109adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)))
111 lt2sq 14102 . . . . . 6 ((((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))) โˆง (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1))) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โ†” ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2)))
112103, 51, 110, 111syl21anc 834 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โ†” ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2)))
1131123adant3 1130 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โ†” ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2)))
11495, 113mpbird 256 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1))
11555, 114jca 510 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆง (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)))
11642nn0zd 12588 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค)
117116adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค)
11849, 117jca 510 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค))
1191183adant3 1130 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค))
120 flbi 13785 . . 3 (((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))) = (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆง (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1))))
121119, 120syl 17 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))) = (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆง (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1))))
122115, 121mpbird 256 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))) = (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โŒŠcfl 13759  โ†‘cexp 14031  โˆšcsqrt 15184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186
This theorem is referenced by:  fmtnosqrt  46505
  Copyright terms: Public domain W3C validator