Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrtpwpw2p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtpwpw2p 45720
Description: The floor of the square root of 2 to the power of 2 to the power of a positive integer plus a bounded nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrtpwpw2p ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem sqrtpwpw2p
StepHypRef Expression
1 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 npcan1 11580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
54eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
65oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) = (2↑((𝑁 − 1) + 1)))
7 2cnd 12231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
107, 9expp1d 14052 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
116, 10eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
1211oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
13 2nn0 12430 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
1513a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
1615, 8nn0expcld 14149 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
187, 14, 17expmuld 14054 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
1912, 18eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
20 nn0ge0 12438 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
2120adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
22 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2315, 22nn0expcld 14149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
2415, 23nn0expcld 14149 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
2524nn0red 12474 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
26 nn0re 12422 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
2725, 26anim12i 613 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
28 addge01 11665 . . . . . . . . 9 (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
3021, 29mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
3119, 30eqbrtrrd 5129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
3224adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
33 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3432, 33nn0addcld 12477 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0)
35 nn0re 12422 . . . . . . . . 9 (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
36 nn0ge0 12438 . . . . . . . . 9 (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
3735, 36jca 512 . . . . . . . 8 (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
3834, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
39 resqrtth 15140 . . . . . . 7 ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
4038, 39syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
4131, 40breqtrrd 5133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2))
4215, 16nn0expcld 14149 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
43 nn0re 12422 . . . . . . . . 9 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
44 nn0ge0 12438 . . . . . . . . 9 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
4543, 44jca 512 . . . . . . . 8 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
4746adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
48 resqrtcl 15138 . . . . . . 7 ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
4938, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
50 sqrtge0 15142 . . . . . . 7 ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
5138, 50syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
52 le2sq 14039 . . . . . 6 ((((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∧ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
5347, 49, 51, 52syl12anc 835 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
5441, 53mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
55543adant3 1132 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
5626adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
57 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
5816, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
5915, 58nn0expcld 14149 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
6059adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
61 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . 10 ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ0)
6362nn0red 12474 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
6432nn0red 12474 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
65 axltadd 11228 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
6656, 63, 64, 65syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
67663impia 1117 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
6824nn0cnd 12475 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
69683ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
7059nn0cnd 12475 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
71703ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
72 1cnd 11150 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → 1 ∈ ℂ)
7369, 71, 72addassd 11177 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
7467, 73breqtrrd 5133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
7542nn0cnd 12475 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76 binom21 14122 . . . . . . . . . 10 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
78 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7978, 15, 16expmuld 14054 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
8078, 8expp1d 14052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
811, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8281oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
8380, 82eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
8483oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
8579, 84eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
8678, 75mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
8778, 16expp1d 14052 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
8886, 87eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
8985, 88oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))))
9089oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
9177, 90eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
9291adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
9340, 92breq12d 5118 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
94933adant3 1132 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
9574, 94mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
9634nn0red 12474 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
97 nn0ge0 12438 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
9824, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
9998, 20anim12i 613 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀))
10027, 99jca 512 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)))
101 addge0 11644 . . . . . . . 8 ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
102100, 101syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
10396, 102resqrtcld 15302 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
104 peano2nn0 12453 . . . . . . . . 9 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
10542, 104syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
106 nn0re 12422 . . . . . . . . 9 (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
107 nn0ge0 12438 . . . . . . . . 9 (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
108106, 107jca 512 . . . . . . . 8 (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
109105, 108syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
110109adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
111 lt2sq 14038 . . . . . 6 ((((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) ∧ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
112103, 51, 110, 111syl21anc 836 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
1131123adant3 1132 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
11495, 113mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
11555, 114jca 512 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
11642nn0zd 12525 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
117116adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
11849, 117jca 512 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
1191183adant3 1132 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
120 flbi 13721 . . 3 (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
121119, 120syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
122115, 121mpbird 256 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cfl 13695  cexp 13967  csqrt 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120
This theorem is referenced by:  fmtnosqrt  45721
  Copyright terms: Public domain W3C validator