Theorem sqrtpwpw2p 47463

Description: The floor of the square root of 2 to the power of 2 to the power of a positive integer plus a bounded nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtpwpw2p	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem sqrtpwpw2p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		npcan1 11686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6	5	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) = (2↑((𝑁 − 1) + 1)))
7		2cnd 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8		nnm1nn0 12565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
10	7, 9	expp1d 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
11	6, 10	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
12	11	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
13		2nn0 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
15	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
16	15, 8	nn0expcld 14282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
18	7, 14, 17	expmuld 14186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
19	12, 18	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
20		nn0ge0 12549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
22		nnnn0 12531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	15, 22	nn0expcld 14282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
24	15, 23	nn0expcld 14282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0red 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
26		nn0re 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
27	25, 26	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
28		addge01 11771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
30	21, 29	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
31	19, 30	eqbrtrrd 5172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
32	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
33		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
34	32, 33	nn0addcld 12589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0)
35		nn0re 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
36		nn0ge0 12549	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
37	35, 36	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
38	34, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
39		resqrtth 15291	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) = ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
41	31, 40	breqtrrd 5176	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2))
42	15, 16	nn0expcld 14282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
43		nn0re 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
44		nn0ge0 12549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
45	43, 44	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
48		resqrtcl 15289	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
49	38, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
50		sqrtge0 15293	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
51	38, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
52		le2sq 14171	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∧ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
53	47, 49, 51, 52	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) ≤ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2)))
54	41, 53	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
55	54	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)))
56	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
57		peano2nn0 12564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
58	16, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
59	15, 58	nn0expcld 14282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
61		peano2nn0 12564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ0)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℕ0)
63	62	nn0red 12586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
64	32	nn0red 12586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
65		axltadd 11332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
66	56, 63, 64, 65	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))))
67	66	3impia 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
68	24	nn0cnd 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
69	68	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
70	59	nn0cnd 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
71	70	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℂ)
72		1cnd 11254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → 1 ∈ ℂ)
73	69, 71, 72	addassd 11281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
74	67, 73	breqtrrd 5176	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
75	42	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76		binom21 14255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
78		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
79	78, 15, 16	expmuld 14186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
80	78, 8	expp1d 14184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
81	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
82	81	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
83	80, 82	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
84	83	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
85	79, 84	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
86	78, 75	mulcomd 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
87	78, 16	expp1d 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
88	86, 87	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
89	85, 88	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))))
90	89	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
91	77, 90	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
92	91	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1))
93	40, 92	breq12d 5161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
94	93	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) < (((2↑(2↑𝑁)) + (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1))) + 1)))
95	74, 94	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
96	34	nn0red 12586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀) ∈ ℝ)
97		nn0ge0 12549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
98	24, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
99	98, 20	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀))
100	27, 99	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)))
101		addge0 11750	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (2↑(2↑𝑁)) ∧ 0 ≤ 𝑀)) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
102	100, 101	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))
103	96, 102	resqrtcld 15453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ)
104		peano2nn0 12564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
105	42, 104	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0)
106		nn0re 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ)
107		nn0ge0 12549	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
108	106, 107	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
109	105, 108	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
110	109	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
111		lt2sq 14170	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) ∧ (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
112	103, 51, 110, 111	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
113	112	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1) ↔ ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))↑2) < (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2)))
114	95, 113	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
115	55, 114	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)))
116	42	nn0zd 12637	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
117	116	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
118	49, 117	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
119	118	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ))
120		flbi 13853	. . 3 ⊢ (((√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
121	119, 120	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → ((⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ≤ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) ∧ (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀)) < ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))))
122	115, 121	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 𝑀))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ⌊cfl 13827  ↑cexp 14099  √csqrt 15269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271

This theorem is referenced by:  fmtnosqrt  47464