Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrtpwpw2p Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sqrtpwpw2p 45883
Description: The floor of the square root of 2 to the power of 2 to the power of a positive integer plus a bounded nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrtpwpw2p ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))) = (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
Proof of Theorem sqrtpwpw2p
StepHypRef Expression
1 nncn 12185 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 npcan1 11604 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
54eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
65oveq2d 7393 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) = (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))
7 2cnd 12255 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8 nnm1nn0 12478 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
107, 9expp1d 14077 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
116, 10eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
1211oveq2d 7393 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) = (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2)))
13 2nn0 12454 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1513a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1615, 8nn0expcld 14174 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
187, 14, 17expmuld 14079 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2)) = ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2))
1912, 18eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) = ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2))
20 nn0ge0 12462 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
2120adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
22 nnnn0 12444 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2315, 22nn0expcld 14174 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•0)
2415, 23nn0expcld 14174 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•0)
2524nn0red 12498 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
26 nn0re 12446 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
2725, 26anim12i 613 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„))
28 addge01 11689 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘€ โ†” (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘€ โ†” (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
3021, 29mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
3119, 30eqbrtrrd 5149 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
3224adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•0)
33 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
3432, 33nn0addcld 12501 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
35 nn0re 12446 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„)
36 nn0ge0 12462 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
3735, 36jca 512 . . . . . . . 8 (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
3834, 37syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
39 resqrtth 15167 . . . . . . 7 ((((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) = ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
4038, 39syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) = ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
4131, 40breqtrrd 5153 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2))
4215, 16nn0expcld 14174 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0)
43 nn0re 12446 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
44 nn0ge0 12462 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
4543, 44jca 512 . . . . . . . 8 ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
4746adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
48 resqrtcl 15165 . . . . . . 7 ((((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โ†’ (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„)
4938, 48syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„)
50 sqrtge0 15169 . . . . . . 7 ((((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
5138, 50syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
52 le2sq 14064 . . . . . 6 ((((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) โˆง ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2)))
5347, 49, 51, 52syl12anc 835 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2)))
5441, 53mpbird 256 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
55543adant3 1132 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)))
5626adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
57 peano2nn0 12477 . . . . . . . . . . . . 13 ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1) โˆˆ โ„•0)
5816, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1) โˆˆ โ„•0)
5915, 58nn0expcld 14174 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) โˆˆ โ„•0)
6059adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) โˆˆ โ„•0)
61 peano2nn0 12477 . . . . . . . . . 10 ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โˆˆ โ„•0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โˆˆ โ„•0)
6362nn0red 12498 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โˆˆ โ„)
6432nn0red 12498 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
65 axltadd 11252 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1))))
6656, 63, 64, 65syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1))))
67663impia 1117 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
6824nn0cnd 12499 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
69683ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
7059nn0cnd 12499 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) โˆˆ โ„‚)
71703ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) โˆˆ โ„‚)
72 1cnd 11174 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7369, 71, 72addassd 11201 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1) = ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
7467, 73breqtrrd 5153 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1))
7542nn0cnd 12499 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
76 binom21 14147 . . . . . . . . . 10 ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) = ((((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) + (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) + 1))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) = ((((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) + (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) + 1))
78 2cnd 12255 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7978, 15, 16expmuld 14079 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2)) = ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2))
8078, 8expp1d 14077 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2))
811, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
8281oveq2d 7393 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (2โ†‘๐‘))
8380, 82eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2) = (2โ†‘๐‘))
8483oveq2d 7393 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท 2)) = (2โ†‘(2โ†‘๐‘)))
8579, 84eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) = (2โ†‘(2โ†‘๐‘)))
8678, 75mulcomd 11200 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท 2))
8778, 16expp1d 14077 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) = ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท 2))
8886, 87eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) = (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)))
8985, 88oveq12d 7395 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) + (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) = ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))))
9089oveq1d 7392 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ†‘2) + (2 ยท (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) + 1) = (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1))
9177, 90eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) = (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1))
9291adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) = (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1))
9340, 92breq12d 5138 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1)))
94933adant3 1132 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) < (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + (2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1))) + 1)))
9574, 94mpbird 256 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2))
9634nn0red 12498 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€) โˆˆ โ„)
97 nn0ge0 12462 . . . . . . . . . . 11 ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘๐‘)))
9824, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘๐‘)))
9998, 20anim12i 613 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆง 0 โ‰ค ๐‘€))
10027, 99jca 512 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆง 0 โ‰ค ๐‘€)))
101 addge0 11668 . . . . . . . 8 ((((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (2โ†‘(2โ†‘๐‘)) โˆง 0 โ‰ค ๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
102100, 101syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))
10396, 102resqrtcld 15329 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„)
104 peano2nn0 12477 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0)
10542, 104syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0)
106 nn0re 12446 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„)
107 nn0ge0 12462 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1))
108106, 107jca 512 . . . . . . . 8 (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)))
109105, 108syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)))
110109adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)))
111 lt2sq 14063 . . . . . 6 ((((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))) โˆง (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1))) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โ†” ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2)))
112103, 51, 110, 111syl21anc 836 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โ†” ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2)))
1131123adant3 1132 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1) โ†” ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))โ†‘2) < (((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)โ†‘2)))
11495, 113mpbird 256 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1))
11555, 114jca 512 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆง (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1)))
11642nn0zd 12549 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค)
117116adantr 481 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค)
11849, 117jca 512 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค))
1191183adant3 1132 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค))
120 flbi 13746 . . 3 (((โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆˆ โ„ โˆง (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))) = (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆง (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1))))
121119, 120syl 17 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))) = (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ†” ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) โˆง (โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€)) < ((2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) + 1))))
122115, 121mpbird 256 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ < ((2โ†‘((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + 1)) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜((2โ†‘(2โ†‘๐‘)) + ๐‘€))) = (2โ†‘(2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5125  โ€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  โ„‚cc 11073  โ„cr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ยท cmul 11080   < clt 11213   โ‰ค cle 11214   โˆ’ cmin 11409  โ„•cn 12177  2c2 12232  โ„•0cn0 12437  โ„คcz 12523  โŒŠcfl 13720  โ†‘cexp 13992  โˆšcsqrt 15145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-fl 13722  df-seq 13932  df-exp 13993  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147
This theorem is referenced by:  fmtnosqrt  45884
  Copyright terms: Public domain W3C validator