MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinq12gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinq12gt0 25008
Description: The sine of a number strictly between 0 and π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinq12gt0 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinq12gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 10677 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 pire 24959 . . . 4 π ∈ ℝ
32rexri 10688 . . 3 π ∈ ℝ*
4 elioo2 12769 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π)))
51, 3, 4mp2an 688 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π))
6 rehalfcl 11852 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
763ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8 halfpos2 11855 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 / 2)))
98biimpa 477 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
1093adant3 1126 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (𝐴 / 2))
11 2re 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
12 2pos 11729 . . . . . . . . 9 0 < 2
1311, 12pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
14 ltdiv1 11493 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
152, 13, 14mp3an23 1446 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
1716biimp3a 1462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) < (π / 2))
18 sincosq1lem 24998 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
197, 10, 17, 18syl3anc 1365 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
20 resubcl 10939 . . . . . . . . 9 ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
212, 20mpan 686 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
22 rehalfcl 11852 . . . . . . . 8 ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
24233ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
25 posdif 11122 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
262, 25mpan2 687 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
27 halfpos2 11855 . . . . . . . . . 10 ((π − 𝐴) ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
2926, 28bitrd 280 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
3029adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
3130biimp3a 1462 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < ((π − 𝐴) / 2))
32 ltsubpos 11121 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
332, 32mpan2 687 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
34 ltdiv1 11493 . . . . . . . . . . 11 (((π − 𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
352, 13, 34mp3an23 1446 . . . . . . . . . 10 ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
3621, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
3733, 36bitrd 280 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
3837biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
39383adant3 1126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
40 sincosq1lem 24998 . . . . . 6 ((((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π − 𝐴) / 2) ∧ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
4124, 31, 39, 40syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
42 recn 10616 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
43 picn 24960 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
44 2cnne0 11836 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
45 divsubdir 11323 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
4643, 44, 45mp3an13 1445 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
4742, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
4847fveq2d 6671 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))))
496recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
50 sinhalfpim 24994 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
5248, 51eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
53523ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
5441, 53breqtrd 5089 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
55 resincl 15483 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
56 recoscl 15484 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
5755, 56jca 512 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ))
58 axmulgt0 10704 . . . . . . 7 (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
596, 57, 583syl 18 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
60 remulcl 10611 . . . . . . . . 9 (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
616, 57, 603syl 18 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
62 axmulgt0 10704 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6311, 61, 62sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6412, 63mpani 692 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6559, 64syld 47 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
66653ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6719, 54, 66mp2and 695 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
68 2cn 11701 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
69 2ne0 11730 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
70 divcan2 11295 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7168, 69, 70mp3an23 1446 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7242, 71syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7372fveq2d 6671 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
74 sin2t 15520 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
7549, 74syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
7673, 75eqtr3d 2863 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
77763ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
7867, 77breqtrrd 5091 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴))
795, 78sylbi 218 1 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531  *cxr 10663   < clt 10664  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11681  (,)cioo 12728  sincsin 15407  cosccos 15408  πcpi 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380
This theorem is referenced by:  sinq12ge0  25009  sinq34lt0t  25010  cosq14gt0  25011  sineq0  25024  cosordlem  25028  tan2h  34751  sineq0ALT  41136  wallispilem1  42216
  Copyright terms: Public domain W3C validator