Theorem sinq12gt0 26466

Description: The sine of a number strictly between 0 and π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinq12gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinq12gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11280	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pire 26416	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	rexri 11291	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ*
4		elioo2 13401	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
5	1, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
6		rehalfcl 12466	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8		halfpos2 12468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 / 2)))
9	8	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
10	9	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (𝐴 / 2))
11		2re 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
12		2pos 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
14		ltdiv1 12104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
15	2, 13, 14	mp3an23 1455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
17	16	biimp3a 1471	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) < (π / 2))
18		sincosq1lem 26456	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
19	7, 10, 17, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
20		resubcl 11545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
21	2, 20	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
22		rehalfcl 12466	. . . . . . . 8 ⊢ ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
25		posdif 11728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
26	2, 25	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
27		halfpos2 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π − 𝐴) ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
28	21, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
29	26, 28	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
31	30	biimp3a 1471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < ((π − 𝐴) / 2))
32		ltsubpos 11727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
33	2, 32	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
34		ltdiv1 12104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((π − 𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
35	2, 13, 34	mp3an23 1455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
36	21, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
37	33, 36	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
38	37	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
39	38	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
40		sincosq1lem 26456	. . . . . 6 ⊢ ((((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π − 𝐴) / 2) ∧ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
41	24, 31, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
42		recn 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
43		picn 26417	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
44		2cnne0 12448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
45		divsubdir 11933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
46	43, 44, 45	mp3an13 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
48	47	fveq2d 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))))
49	6	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
50		sinhalfpim 26452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
52	48, 51	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
53	52	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
54	41, 53	breqtrd 5145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
55		resincl 16156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
56		recoscl 16157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
57	55, 56	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ))
58		axmulgt0 11307	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
59	6, 57, 58	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
60		remulcl 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
61	6, 57, 60	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
62		axmulgt0 11307	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
63	11, 61, 62	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
64	12, 63	mpani 696	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
65	59, 64	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
66	65	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
67	19, 54, 66	mp2and 699	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
68		2cn 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
69		2ne0 12342	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
70		divcan2 11902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
71	68, 69, 70	mp3an23 1455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
72	42, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
73	72	fveq2d 6879	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
74		sin2t 16193	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
75	49, 74	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
76	73, 75	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
77	76	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
78	67, 77	breqtrrd 5147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴))
79	5, 78	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   · cmul 11132  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   − cmin 11464   / cdiv 11892  2c2 12293  (,)cioo 13360  sincsin 16077  cosccos 16078  πcpi 16080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-ef 16081  df-sin 16083  df-cos 16084  df-pi 16086  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-limc 25817  df-dv 25818

This theorem is referenced by:  sinq12ge0  26467  sinq34lt0t  26468  cosq14gt0  26469  sineq0  26483  cosordlem  26489  tan2h  37582  sineq0ALT  44909  wallispilem1  46042