Theorem sinq12gt0 26443

Description: The sine of a number strictly between 0 and π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinq12gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinq12gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11159	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pire 26393	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	rexri 11170	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ*
4		elioo2 13286	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
5	1, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
6		rehalfcl 12348	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8		halfpos2 12350	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 / 2)))
9	8	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
10	9	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (𝐴 / 2))
11		2re 12199	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
12		2pos 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
14		ltdiv1 11986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
15	2, 13, 14	mp3an23 1455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
17	16	biimp3a 1471	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) < (π / 2))
18		sincosq1lem 26433	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
19	7, 10, 17, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
20		resubcl 11425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
21	2, 20	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
22		rehalfcl 12348	. . . . . . . 8 ⊢ ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
25		posdif 11610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
26	2, 25	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
27		halfpos2 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π − 𝐴) ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
28	21, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
29	26, 28	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
31	30	biimp3a 1471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < ((π − 𝐴) / 2))
32		ltsubpos 11609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
33	2, 32	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
34		ltdiv1 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((π − 𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
35	2, 13, 34	mp3an23 1455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
36	21, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
37	33, 36	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
38	37	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
39	38	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
40		sincosq1lem 26433	. . . . . 6 ⊢ ((((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π − 𝐴) / 2) ∧ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
41	24, 31, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
42		recn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
43		picn 26394	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
44		2cnne0 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
45		divsubdir 11815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
46	43, 44, 45	mp3an13 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
48	47	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))))
49	6	recnd 11140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
50		sinhalfpim 26429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
52	48, 51	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
53	52	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
54	41, 53	breqtrd 5115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
55		resincl 16049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
56		recoscl 16050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
57	55, 56	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ))
58		axmulgt0 11187	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
59	6, 57, 58	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
60		remulcl 11091	. . . . . . . . 9 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
61	6, 57, 60	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
62		axmulgt0 11187	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
63	11, 61, 62	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
64	12, 63	mpani 696	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
65	59, 64	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
66	65	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
67	19, 54, 66	mp2and 699	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
68		2cn 12200	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
69		2ne0 12229	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
70		divcan2 11784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
71	68, 69, 70	mp3an23 1455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
72	42, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
73	72	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
74		sin2t 16086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
75	49, 74	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
76	73, 75	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
77	76	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
78	67, 77	breqtrrd 5117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴))
79	5, 78	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006   · cmul 11011  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   − cmin 11344   / cdiv 11774  2c2 12180  (,)cioo 13245  sincsin 15970  cosccos 15971  πcpi 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795

This theorem is referenced by:  sinq12ge0  26444  sinq34lt0t  26445  cosq14gt0  26446  sineq0  26460  cosordlem  26466  tan2h  37660  sineq0ALT  44977  wallispilem1  46111