MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinq12gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinq12gt0 24551
Description: The sine of a number strictly between 0 and π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinq12gt0 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinq12gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 10340 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 pire 24502 . . . 4 π ∈ ℝ
32rexri 10351 . . 3 π ∈ ℝ*
4 elioo2 12418 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π)))
51, 3, 4mp2an 683 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π))
6 rehalfcl 11504 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
763ad2ant1 1163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8 halfpos2 11507 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 / 2)))
98biimpa 468 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
1093adant3 1162 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (𝐴 / 2))
11 2re 11346 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
12 2pos 11382 . . . . . . . . 9 0 < 2
1311, 12pm3.2i 462 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
14 ltdiv1 11141 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
152, 13, 14mp3an23 1577 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
1615adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
1716biimp3a 1593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) < (π / 2))
18 sincosq1lem 24541 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
197, 10, 17, 18syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
20 resubcl 10599 . . . . . . . . 9 ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
212, 20mpan 681 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
22 rehalfcl 11504 . . . . . . . 8 ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
24233ad2ant1 1163 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
25 posdif 10775 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
262, 25mpan2 682 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
27 halfpos2 11507 . . . . . . . . . 10 ((π − 𝐴) ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
2926, 28bitrd 270 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
3029adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
3130biimp3a 1593 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < ((π − 𝐴) / 2))
32 ltsubpos 10774 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
332, 32mpan2 682 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
34 ltdiv1 11141 . . . . . . . . . . 11 (((π − 𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
352, 13, 34mp3an23 1577 . . . . . . . . . 10 ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
3621, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
3733, 36bitrd 270 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
3837biimpa 468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
39383adant3 1162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
40 sincosq1lem 24541 . . . . . 6 ((((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π − 𝐴) / 2) ∧ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
4124, 31, 39, 40syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
42 recn 10279 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
43 picn 24503 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
44 2cnne0 11488 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
45 divsubdir 10975 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
4643, 44, 45mp3an13 1576 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
4742, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
4847fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))))
496recnd 10322 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
50 sinhalfpim 24537 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
5248, 51eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
53523ad2ant1 1163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
5441, 53breqtrd 4835 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
55 resincl 15154 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
56 recoscl 15155 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
5755, 56jca 507 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ))
58 axmulgt0 10366 . . . . . . 7 (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
596, 57, 583syl 18 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
60 remulcl 10274 . . . . . . . . 9 (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
616, 57, 603syl 18 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
62 axmulgt0 10366 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6311, 61, 62sylancr 581 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6412, 63mpani 687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6559, 64syld 47 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
66653ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6719, 54, 66mp2and 690 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
68 2cn 11347 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
69 2ne0 11383 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
70 divcan2 10947 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7168, 69, 70mp3an23 1577 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7242, 71syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7372fveq2d 6379 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
74 sin2t 15191 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
7549, 74syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
7673, 75eqtr3d 2801 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
77763ad2ant1 1163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
7867, 77breqtrrd 4837 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴))
795, 78sylbi 208 1 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cmin 10520   / cdiv 10938  2c2 11327  (,)cioo 12377  sincsin 15078  cosccos 15079  πcpi 15081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  sinq12ge0  24552  sinq34lt0t  24553  cosq14gt0  24554  sineq0  24565  cosordlem  24569  tan2h  33757  sineq0ALT  39757  wallispilem1  40851
  Copyright terms: Public domain W3C validator