Theorem sin02gt0 15829

Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin02gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin02gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10953	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		2re 11977	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		elioc2 13071	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2)))
4	1, 2, 3	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2))
5		rehalfcl 12129	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	4, 6	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8		resincl 15777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9		recoscl 15778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12		2pos 12006	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
13		divgt0 11773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
14	2, 12, 13	mpanr12 701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
15	14	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → 0 < (𝐴 / 2))
16	2, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17		lediv1 11770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
18	2, 16, 17	mp3an23 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
19	18	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2))
20		2div2e1 12044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 / 2) = 1
21	19, 20	breqtrdi 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
22	21	3adant2 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
23	6, 15, 22	3jca 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
24		1re 10906	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
25		elioc2 13071	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
26	1, 24, 25	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
27	23, 4, 26	3imtr4i 291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28		sin01gt0 15827	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
30		cos01gt0 15828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
31	27, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
32		axmulgt0 10980	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
33	8, 9, 32	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
34	7, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
35	29, 31, 34	mp2and 695	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))
36		axmulgt0 10980	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
37	2, 36	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
38	12, 37	mpani 692	. . . 4 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
39	11, 35, 38	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
40	7	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41		sin2t 15814	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
43	39, 42	breqtrrd 5098	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
44	4	simp1bi 1143	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
45	44	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		2cn 11978	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
47		2ne0 12007	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
48		divcan2 11571	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
49	46, 47, 48	mp3an23 1451	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
50	45, 49	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
51	50	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
52	43, 51	breqtrd 5096	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  2c2 11958  (,]cioc 13009  sincsin 15701  cosccos 15702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  15831  pilem2  25516  sinhalfpilem  25525  sincosq1lem  25559