MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin02gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin02gt0 16225
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin02gt0 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin02gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 11306 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2 2re 12338 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 elioc2 13447 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2)))
41, 2, 3mp2an 692 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2))
5 rehalfcl 12490 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
653ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
74, 6sylbi 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8 resincl 16173 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9 recoscl 16174 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9remulcld 11289 . . . . 5 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
117, 10syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12 2pos 12367 . . . . . . . . . 10 0 < 2
13 divgt0 12134 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
142, 12, 13mpanr12 705 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
15143adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → 0 < (𝐴 / 2))
162, 12pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17 lediv1 12131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
182, 16, 17mp3an23 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
1918biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2))
20 2div2e1 12405 . . . . . . . . . 10 (2 / 2) = 1
2119, 20breqtrdi 5189 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
22213adant2 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
236, 15, 223jca 1127 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
24 1re 11259 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
25 elioc2 13447 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
261, 24, 25mp2an 692 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
2723, 4, 263imtr4i 292 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28 sin01gt0 16223 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
30 cos01gt0 16224 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
3127, 30syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
32 axmulgt0 11333 . . . . . . 7 (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
338, 9, 32syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
347, 33syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
3529, 31, 34mp2and 699 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))
36 axmulgt0 11333 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
372, 36mpan 690 . . . . 5 (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
3812, 37mpani 696 . . . 4 (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
3911, 35, 38sylc 65 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
407recnd 11287 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41 sin2t 16210 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
4339, 42breqtrrd 5176 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
444simp1bi 1144 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4544recnd 11287 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℂ)
46 2cn 12339 . . . . 5 2 ∈ ℂ
47 2ne0 12368 . . . . 5 2 ≠ 0
48 divcan2 11928 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
4946, 47, 48mp3an23 1452 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5045, 49syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5150fveq2d 6911 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
5243, 51breqtrd 5174 1 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319  (,]cioc 13385  sincsin 16096  cosccos 16097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  16227  pilem2  26511  sinhalfpilem  26520  sincosq1lem  26554
  Copyright terms: Public domain W3C validator