Theorem sin02gt0 15901

Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin02gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin02gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11022	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		2re 12047	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		elioc2 13142	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2)))
4	1, 2, 3	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2))
5		rehalfcl 12199	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	4, 6	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8		resincl 15849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9		recoscl 15850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11005	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12		2pos 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
13		divgt0 11843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
14	2, 12, 13	mpanr12 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
15	14	3adant3 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → 0 < (𝐴 / 2))
16	2, 12	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17		lediv1 11840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
18	2, 16, 17	mp3an23 1452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
19	18	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2))
20		2div2e1 12114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 / 2) = 1
21	19, 20	breqtrdi 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
22	21	3adant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
23	6, 15, 22	3jca 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
24		1re 10975	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
25		elioc2 13142	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
26	1, 24, 25	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
27	23, 4, 26	3imtr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28		sin01gt0 15899	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
30		cos01gt0 15900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
31	27, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
32		axmulgt0 11049	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
33	8, 9, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
34	7, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
35	29, 31, 34	mp2and 696	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))
36		axmulgt0 11049	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
37	2, 36	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
38	12, 37	mpani 693	. . . 4 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
39	11, 35, 38	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
40	7	recnd 11003	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41		sin2t 15886	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
43	39, 42	breqtrrd 5102	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
44	4	simp1bi 1144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
45	44	recnd 11003	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		2cn 12048	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
47		2ne0 12077	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
48		divcan2 11641	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
49	46, 47, 48	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
50	45, 49	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
51	50	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
52	43, 51	breqtrd 5100	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  2c2 12028  (,]cioc 13080  sincsin 15773  cosccos 15774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  15903  pilem2  25611  sinhalfpilem  25620  sincosq1lem  25654