MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin02gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin02gt0 16081
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin02gt0 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))

Proof of Theorem sin02gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 11209 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2 2re 12234 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 elioc2 13334 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2)))
41, 2, 3mp2an 691 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2))
5 rehalfcl 12386 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
653ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
74, 6sylbi 216 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8 resincl 16029 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9 recoscl 16030 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9remulcld 11192 . . . . 5 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
117, 10syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12 2pos 12263 . . . . . . . . . 10 0 < 2
13 divgt0 12030 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
142, 12, 13mpanr12 704 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
15143adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
162, 12pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17 lediv1 12027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (𝐴 ≀ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≀ (2 / 2)))
182, 16, 17mp3an23 1454 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 ≀ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≀ (2 / 2)))
1918biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ≀ (2 / 2))
20 2div2e1 12301 . . . . . . . . . 10 (2 / 2) = 1
2119, 20breqtrdi 5151 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ≀ 1)
22213adant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ≀ 1)
236, 15, 223jca 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1))
24 1re 11162 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
25 elioc2 13334 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1)))
261, 24, 25mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1))
2723, 4, 263imtr4i 292 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28 sin01gt0 16079 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
30 cos01gt0 16080 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
3127, 30syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
32 axmulgt0 11236 . . . . . . 7 (((sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) β†’ ((0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
338, 9, 32syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ ((0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
347, 33syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ ((0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
3529, 31, 34mp2and 698 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
36 axmulgt0 11236 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) β†’ ((0 < 2 ∧ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))))
372, 36mpan 689 . . . . 5 (((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ β†’ ((0 < 2 ∧ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))))
3812, 37mpani 695 . . . 4 (((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ β†’ (0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))))
3911, 35, 38sylc 65 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
407recnd 11190 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„‚)
41 sin2t 16066 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
4339, 42breqtrrd 5138 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))))
444simp1bi 1146 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4544recnd 11190 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
46 2cn 12235 . . . . 5 2 ∈ β„‚
47 2ne0 12264 . . . . 5 2 β‰  0
48 divcan2 11828 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
4946, 47, 48mp3an23 1454 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5045, 49syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5150fveq2d 6851 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (sinβ€˜π΄))
5243, 51breqtrd 5136 1 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  2c2 12215  (,]cioc 13272  sincsin 15953  cosccos 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  16083  pilem2  25827  sinhalfpilem  25836  sincosq1lem  25870
  Copyright terms: Public domain W3C validator