MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin02gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin02gt0 16142
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin02gt0 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))

Proof of Theorem sin02gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2 2re 12290 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 elioc2 13393 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2)))
41, 2, 3mp2an 689 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2))
5 rehalfcl 12442 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
653ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
74, 6sylbi 216 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8 resincl 16090 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9 recoscl 16091 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9remulcld 11248 . . . . 5 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
117, 10syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12 2pos 12319 . . . . . . . . . 10 0 < 2
13 divgt0 12086 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
142, 12, 13mpanr12 702 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
15143adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
162, 12pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17 lediv1 12083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (𝐴 ≀ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≀ (2 / 2)))
182, 16, 17mp3an23 1449 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 ≀ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≀ (2 / 2)))
1918biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ≀ (2 / 2))
20 2div2e1 12357 . . . . . . . . . 10 (2 / 2) = 1
2119, 20breqtrdi 5182 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ≀ 1)
22213adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ≀ 1)
236, 15, 223jca 1125 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1))
24 1re 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
25 elioc2 13393 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1)))
261, 24, 25mp2an 689 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1))
2723, 4, 263imtr4i 292 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28 sin01gt0 16140 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
30 cos01gt0 16141 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
3127, 30syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
32 axmulgt0 11292 . . . . . . 7 (((sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) β†’ ((0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
338, 9, 32syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ ((0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
347, 33syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ ((0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
3529, 31, 34mp2and 696 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
36 axmulgt0 11292 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) β†’ ((0 < 2 ∧ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))))
372, 36mpan 687 . . . . 5 (((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ β†’ ((0 < 2 ∧ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))))
3812, 37mpani 693 . . . 4 (((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ β†’ (0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))))
3911, 35, 38sylc 65 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
407recnd 11246 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„‚)
41 sin2t 16127 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
4339, 42breqtrrd 5169 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))))
444simp1bi 1142 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4544recnd 11246 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
46 2cn 12291 . . . . 5 2 ∈ β„‚
47 2ne0 12320 . . . . 5 2 β‰  0
48 divcan2 11884 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
4946, 47, 48mp3an23 1449 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5045, 49syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5150fveq2d 6889 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (sinβ€˜π΄))
5243, 51breqtrd 5167 1 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  (,]cioc 13331  sincsin 16013  cosccos 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  16144  pilem2  26344  sinhalfpilem  26353  sincosq1lem  26387
  Copyright terms: Public domain W3C validator