MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin02gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin02gt0 15753
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin02gt0 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin02gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 10880 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2 2re 11904 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 elioc2 12998 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2)))
41, 2, 3mp2an 692 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2))
5 rehalfcl 12056 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
653ad2ant1 1135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
74, 6sylbi 220 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8 resincl 15701 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9 recoscl 15702 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9remulcld 10863 . . . . 5 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
117, 10syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12 2pos 11933 . . . . . . . . . 10 0 < 2
13 divgt0 11700 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
142, 12, 13mpanr12 705 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
15143adant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → 0 < (𝐴 / 2))
162, 12pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17 lediv1 11697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
182, 16, 17mp3an23 1455 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
1918biimpa 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2))
20 2div2e1 11971 . . . . . . . . . 10 (2 / 2) = 1
2119, 20breqtrdi 5094 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
22213adant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
236, 15, 223jca 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
24 1re 10833 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
25 elioc2 12998 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
261, 24, 25mp2an 692 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
2723, 4, 263imtr4i 295 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28 sin01gt0 15751 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
30 cos01gt0 15752 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
3127, 30syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
32 axmulgt0 10907 . . . . . . 7 (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
338, 9, 32syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
347, 33syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
3529, 31, 34mp2and 699 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))
36 axmulgt0 10907 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
372, 36mpan 690 . . . . 5 (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
3812, 37mpani 696 . . . 4 (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
3911, 35, 38sylc 65 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
407recnd 10861 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41 sin2t 15738 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
4240, 41syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
4339, 42breqtrrd 5081 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
444simp1bi 1147 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4544recnd 10861 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℂ)
46 2cn 11905 . . . . 5 2 ∈ ℂ
47 2ne0 11934 . . . . 5 2 ≠ 0
48 divcan2 11498 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
4946, 47, 48mp3an23 1455 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5045, 49syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5150fveq2d 6721 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
5243, 51breqtrd 5079 1 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868   / cdiv 11489  2c2 11885  (,]cioc 12936  sincsin 15625  cosccos 15626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  15755  pilem2  25344  sinhalfpilem  25353  sincosq1lem  25387
  Copyright terms: Public domain W3C validator