MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt0 11237
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
mulgt0 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mulgt0
StepHypRef Expression
1 axmulgt0 11234 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต)))
21imp 408 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
32an4s 659 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061   < clt 11194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-addrcl 11117  ax-mulrcl 11119  ax-rnegex 11127  ax-cnre 11129  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199
This theorem is referenced by:  mulgt0d  11315  mulge0  11678  mullt0  11679  msqgt0  11680  rpmulcl  12943  xmulgt0  13208  itg2addnclem  36175  sn-inelr  40977  mulltgt0  43315
  Copyright terms: Public domain W3C validator