MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gicen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicen 18070
Description: Isomorphic groups have equinumerous base sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gicen.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gicen.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gicen (𝑅𝑔 𝑆𝐵𝐶)

Proof of Theorem gicen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 18062 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4160 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3 gicen.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 gicen.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑆)
53, 4gimf1o 18056 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
63fvexi 6447 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
76f1oen 8243 . . . . 5 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝐵𝐶)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐵𝐶)
98exlimiv 2031 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐵𝐶)
102, 9sylbi 209 . 2 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝐵𝐶)
111, 10sylbi 209 1 (𝑅𝑔 𝑆𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wex 1880  wcel 2166  wne 2999  c0 4144   class class class wbr 4873  1-1-ontowf1o 6122  cfv 6123  (class class class)co 6905  cen 8219  Basecbs 16222   GrpIso cgim 18050  𝑔 cgic 18051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-1o 7826  df-en 8223  df-ghm 18009  df-gim 18052  df-gic 18053
This theorem is referenced by:  cyggic  20280  sconnpi1  31767
  Copyright terms: Public domain W3C validator