MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gicen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicen 19199
Description: Isomorphic groups have equinumerous base sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gicen.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gicen.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gicen (𝑅𝑔 𝑆𝐵𝐶)

Proof of Theorem gicen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 19191 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4339 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3 gicen.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 gicen.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑆)
53, 4gimf1o 19184 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
63fvexi 6896 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
76f1oen 8966 . . . . 5 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝐵𝐶)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐵𝐶)
98exlimiv 1925 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐵𝐶)
102, 9sylbi 216 . 2 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝐵𝐶)
111, 10sylbi 216 1 (𝑅𝑔 𝑆𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2932  c0 4315   class class class wbr 5139  1-1-ontowf1o 6533  cfv 6534  (class class class)co 7402  cen 8933  Basecbs 17149   GrpIso cgim 19178  𝑔 cgic 19179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8462  df-en 8937  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-gic 19181
This theorem is referenced by:  cyggic  21456  sconnpi1  34748
  Copyright terms: Public domain W3C validator