| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | brgic 19288 | . . 3
⊢ (𝑅 ≃𝑔
𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅) | 
| 2 |  | n0 4353 | . . 3
⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) | 
| 3 | 1, 2 | bitri 275 | . 2
⊢ (𝑅 ≃𝑔
𝑆 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) | 
| 4 |  | fvexd 6921 | . . . 4
⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → (SubGrp‘𝑅) ∈ V) | 
| 5 |  | fvexd 6921 | . . . 4
⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → (SubGrp‘𝑆) ∈ V) | 
| 6 |  | vex 3484 | . . . . . 6
⊢ 𝑎 ∈ V | 
| 7 | 6 | imaex 7936 | . . . . 5
⊢ (𝑎 “ 𝑏) ∈ V | 
| 8 | 7 | 2a1i 12 | . . . 4
⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → (𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑎 “ 𝑏) ∈ V)) | 
| 9 | 6 | cnvex 7947 | . . . . . 6
⊢ ◡𝑎 ∈ V | 
| 10 | 9 | imaex 7936 | . . . . 5
⊢ (◡𝑎 “ 𝑐) ∈ V | 
| 11 | 10 | 2a1i 12 | . . . 4
⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → (𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (◡𝑎 “ 𝑐) ∈ V)) | 
| 12 |  | gimghm 19282 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑎 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆)) | 
| 13 |  | ghmima 19255 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑎 “ 𝑏) ∈ (SubGrp‘𝑆)) | 
| 14 | 12, 13 | sylan 580 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑎 “ 𝑏) ∈ (SubGrp‘𝑆)) | 
| 15 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(Base‘𝑅) =
(Base‘𝑅) | 
| 16 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(Base‘𝑆) =
(Base‘𝑆) | 
| 17 | 15, 16 | gimf1o 19281 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)) | 
| 18 |  | f1of1 6847 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆)) | 
| 19 | 17, 18 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆)) | 
| 20 | 15 | subgss 19145 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑅)) | 
| 21 |  | f1imacnv 6864 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑎:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑅)) → (◡𝑎 “ (𝑎 “ 𝑏)) = 𝑏) | 
| 22 | 19, 20, 21 | syl2an 596 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (◡𝑎 “ (𝑎 “ 𝑏)) = 𝑏) | 
| 23 | 22 | eqcomd 2743 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑏 = (◡𝑎 “ (𝑎 “ 𝑏))) | 
| 24 | 14, 23 | jca 511 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑎 “ 𝑏) ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ 𝑏 = (◡𝑎 “ (𝑎 “ 𝑏)))) | 
| 25 |  | eleq1 2829 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑐 = (𝑎 “ 𝑏) → (𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆) ↔ (𝑎 “ 𝑏) ∈ (SubGrp‘𝑆))) | 
| 26 |  | imaeq2 6074 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑐 = (𝑎 “ 𝑏) → (◡𝑎 “ 𝑐) = (◡𝑎 “ (𝑎 “ 𝑏))) | 
| 27 | 26 | eqeq2d 2748 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑐 = (𝑎 “ 𝑏) → (𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐) ↔ 𝑏 = (◡𝑎 “ (𝑎 “ 𝑏)))) | 
| 28 | 25, 27 | anbi12d 632 | . . . . . . 7
⊢ (𝑐 = (𝑎 “ 𝑏) → ((𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ 𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐)) ↔ ((𝑎 “ 𝑏) ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ 𝑏 = (◡𝑎 “ (𝑎 “ 𝑏))))) | 
| 29 | 24, 28 | syl5ibrcom 247 | . . . . . 6
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑐 = (𝑎 “ 𝑏) → (𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ 𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐)))) | 
| 30 | 29 | impr 454 | . . . . 5
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ (𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑐 = (𝑎 “ 𝑏))) → (𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ 𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐))) | 
| 31 |  | ghmpreima 19256 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝑎 “ 𝑐) ∈ (SubGrp‘𝑅)) | 
| 32 | 12, 31 | sylan 580 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (◡𝑎 “ 𝑐) ∈ (SubGrp‘𝑅)) | 
| 33 |  | f1ofo 6855 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆)) | 
| 34 | 17, 33 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆)) | 
| 35 | 16 | subgss 19145 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝑐 ⊆ (Base‘𝑆)) | 
| 36 |  | foimacnv 6865 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑎:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) ∧ 𝑐 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝑎 “ (◡𝑎 “ 𝑐)) = 𝑐) | 
| 37 | 34, 35, 36 | syl2an 596 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (𝑎 “ (◡𝑎 “ 𝑐)) = 𝑐) | 
| 38 | 37 | eqcomd 2743 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆)) → 𝑐 = (𝑎 “ (◡𝑎 “ 𝑐))) | 
| 39 | 32, 38 | jca 511 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆)) → ((◡𝑎 “ 𝑐) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑐 = (𝑎 “ (◡𝑎 “ 𝑐)))) | 
| 40 |  | eleq1 2829 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐) → (𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (◡𝑎 “ 𝑐) ∈ (SubGrp‘𝑅))) | 
| 41 |  | imaeq2 6074 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐) → (𝑎 “ 𝑏) = (𝑎 “ (◡𝑎 “ 𝑐))) | 
| 42 | 41 | eqeq2d 2748 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐) → (𝑐 = (𝑎 “ 𝑏) ↔ 𝑐 = (𝑎 “ (◡𝑎 “ 𝑐)))) | 
| 43 | 40, 42 | anbi12d 632 | . . . . . . 7
⊢ (𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐) → ((𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑐 = (𝑎 “ 𝑏)) ↔ ((◡𝑎 “ 𝑐) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑐 = (𝑎 “ (◡𝑎 “ 𝑐))))) | 
| 44 | 39, 43 | syl5ibrcom 247 | . . . . . 6
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐) → (𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑐 = (𝑎 “ 𝑏)))) | 
| 45 | 44 | impr 454 | . . . . 5
⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ 𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐))) → (𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑐 = (𝑎 “ 𝑏))) | 
| 46 | 30, 45 | impbida 801 | . . . 4
⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → ((𝑏 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑐 = (𝑎 “ 𝑏)) ↔ (𝑐 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ 𝑏 = (◡𝑎 “ 𝑐)))) | 
| 47 | 4, 5, 8, 11, 46 | en2d 9028 | . . 3
⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → (SubGrp‘𝑅) ≈ (SubGrp‘𝑆)) | 
| 48 | 47 | exlimiv 1930 | . 2
⊢
(∃𝑎 𝑎 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → (SubGrp‘𝑅) ≈ (SubGrp‘𝑆)) | 
| 49 | 3, 48 | sylbi 217 | 1
⊢ (𝑅 ≃𝑔
𝑆 →
(SubGrp‘𝑅) ≈
(SubGrp‘𝑆)) |