Theorem giccyg 20120

Description: Cyclicity is a group property, i.e. it is preserved under isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
giccyg	⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))

Proof of Theorem giccyg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 19490	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 ↔ (𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅)
2		n0 4299	. . 3 ⊢ ((𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻))
3		gimghm 19484	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
6	4, 5	gimf1o 19483	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
7		f1ofo 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻))
9	4, 5	ghmcyg 20116	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻)) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
10	3, 8, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
11	10	exlimiv 1962	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
12	2, 11	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
13	1, 12	sylbi 220	1 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  –onto→wfo 6537  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   GrpHom cghm 19433   GrpIso cgim 19477   ≃_𝑔 cgic 19478  CycGrpccyg 20097

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-seq 14149  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-mulg 19284  df-ghm 19434  df-gim 19479  df-gic 19480  df-cyg 20098

This theorem is used by:  cygth  21883