Theorem giccyg 19848

Description: Cyclicity is a group property, i.e. it is preserved under isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
giccyg	⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))

Proof of Theorem giccyg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 19217	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 ↔ (𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅)
2		n0 4342	. . 3 ⊢ ((𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻))
3		gimghm 19211	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
4		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
6	4, 5	gimf1o 19210	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
7		f1ofo 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻))
9	4, 5	ghmcyg 19844	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻)) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
10	3, 8, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
11	10	exlimiv 1926	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
12	2, 11	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
13	1, 12	sylbi 216	1 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  –onto→wfo 6540  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173   GrpHom cghm 19160   GrpIso cgim 19204   ≃_𝑔 cgic 19205  CycGrpccyg 19825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-seq 13993  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-mulg 19017  df-ghm 19161  df-gim 19206  df-gic 19207  df-cyg 19826

This theorem is referenced by:  cygth  21498