Theorem giccyg 19866

Description: Cyclicity is a group property, i.e. it is preserved under isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
giccyg	⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))

Proof of Theorem giccyg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 19236	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 ↔ (𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅)
2		n0 4294	. . 3 ⊢ ((𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻))
3		gimghm 19230	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
6	4, 5	gimf1o 19229	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
7		f1ofo 6781	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻))
9	4, 5	ghmcyg 19862	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻)) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
10	3, 8, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
11	10	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
12	2, 11	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
13	1, 12	sylbi 217	1 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   GrpHom cghm 19178   GrpIso cgim 19223   ≃_𝑔 cgic 19224  CycGrpccyg 19843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-gic 19226  df-cyg 19844

This theorem is referenced by:  cygth  21561