Theorem giccyg 19820

Description: Cyclicity is a group property, i.e. it is preserved under isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
giccyg	⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))

Proof of Theorem giccyg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 19190	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 ↔ (𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅)
2		n0 4302	. . 3 ⊢ ((𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻))
3		gimghm 19184	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
4		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
6	4, 5	gimf1o 19183	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
7		f1ofo 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻))
9	4, 5	ghmcyg 19816	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑓:(Base‘𝐺)–onto→(Base‘𝐻)) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
10	3, 8, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
11	10	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐺 GrpIso 𝐻) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
12	2, 11	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐺 GrpIso 𝐻) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))
13	1, 12	sylbi 217	1 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐻 ∈ CycGrp))

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282   class class class wbr 5095  –onto→wfo 6487  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127   GrpHom cghm 19132   GrpIso cgim 19177   ≃_𝑔 cgic 19178  CycGrpccyg 19797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-seq 13916  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-mulg 18989  df-ghm 19133  df-gim 19179  df-gic 19180  df-cyg 19798

This theorem is referenced by:  cygth  21517