Theorem ccatvalfn 14694

Description: The concatenation of two words is a function over the half-open integer range having the sum of the lengths of the word as length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ccatvalfn	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))

Proof of Theorem ccatvalfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 14686	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))))
2		fvex 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐴‘𝑥) ∈ V
3		fvex 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))) ∈ V
4	2, 3	ifex 4532	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ V
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))
6	4, 5	fnmpti 6670	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
7		fneq1 6618	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
8	6, 7	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) → (𝐴 ++ 𝐵) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
9	1, 8	syl 18	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6522  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11172   + caddc 11175   − cmin 11513  ..^cfzo 13757  ♯chash 14442  Word cword 14626   ++ cconcat 14683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-concat 14684

This theorem is used by:  ccatlid  14700  ccatrid  14701  ccatrn  14703  pfxccat1  14819  pfxccatin12  14850  frlmvscadiccat  43498