Theorem ccatvalfn 14584

Description: The concatenation of two words is a function over the half-open integer range having the sum of the lengths of the word as length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ccatvalfn	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))

Proof of Theorem ccatvalfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 14576	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))))
2		fvex 6869	. . . . 5 ⊢ (𝐴‘𝑥) ∈ V
3		fvex 6869	. . . . 5 ⊢ (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))) ∈ V
4	2, 3	ifex 4525	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ V
5		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))
6	4, 5	fnmpti 6653	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
7		fneq1 6601	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
8	6, 7	mpbiri 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) → (𝐴 ++ 𝐵) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
9	1, 8	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) Fn (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ifcif 4474   ↦ cmpt 5175   Fn wfn 6505  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  0cc0 11063   + caddc 11066   − cmin 11404  ..^cfzo 13649  ♯chash 14333  Word cword 14516   ++ cconcat 14573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-concat 14574

This theorem is referenced by:  ccatlid  14590  ccatrid  14591  ccatrn  14593  pfxccat1  14705  pfxccatin12  14736  frlmvscadiccat  43076