Theorem frlmvscadiccat 43135

Description: Scalar multiplication distributes over concatenation. (Contributed by SN, 6-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzoccat.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x	⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y	⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
frlmfzoccat.l	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
frlmfzoccat.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
frlmvscadiccat.o	⊢ 𝑂 = ( ·𝑠 ‘𝑊)
frlmvscadiccat.p	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑋)
frlmvscadiccat.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscadiccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
frlmvscadiccat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscadiccat	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = ((𝐴 ∙ 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)))

Proof of Theorem frlmvscadiccat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscadiccat.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		fconstg 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((0..^𝐿) × {𝐴}):(0..^𝐿)⟶{𝐴})
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}):(0..^𝐿)⟶{𝐴})
4	3	ffnd 6696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}) Fn (0..^𝐿))
5		fconstg 6755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐴}):(0..^𝑀)⟶{𝐴})
6		iswrdi 14542	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑀) × {𝐴}):(0..^𝑀)⟶{𝐴} → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
7	1, 5, 6	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
8		fconstg 6755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐴}):(0..^𝑁)⟶{𝐴})
9		iswrdi 14542	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) × {𝐴}):(0..^𝑁)⟶{𝐴} → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
10	1, 8, 9	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
11		ccatvalfn 14606	. . . . . . 7 ⊢ ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴}) → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))))
12	7, 10, 11	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))))
13		fzofi 13998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
14		snfi 9028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
15		hashxp 14459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})))
16	13, 14, 15	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴}))
17		hashsng 14393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐴}) = 1)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
19	18	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · 1))
20		hashcl 14380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^𝑀) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℕ0)
21	13, 20	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℂ)
23	22	mulridd 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · 1) = (♯‘(0..^𝑀)))
24		frlmfzoccat.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
25		hashfzo0 14455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
27	19, 23, 26	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})) = 𝑀)
28	16, 27	eqtrid 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
29		fzofi 13998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
30		hashxp 14459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})))
31	29, 14, 30	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴}))
32	18	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · 1))
33		hashcl 14380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^𝑁) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℕ0)
34	29, 33	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℂ)
36	35	mulridd 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · 1) = (♯‘(0..^𝑁)))
37		frlmfzoccat.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		hashfzo0 14455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
40	32, 36, 39	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = 𝑁)
41	31, 40	eqtrid 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = 𝑁)
42	28, 41	oveq12d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴}))) = (𝑀 + 𝑁))
43		frlmfzoccat.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
44	42, 43	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴}))) = 𝐿)
45	44	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))) = (0..^𝐿))
46	45	fneq2d 6619	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))) ↔ (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^𝐿)))
47	12, 46	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^𝐿))
48	28	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
49	48	breq2d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) ↔ 𝑥 < 𝑀))
50	49	ifbid 4507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))) = if(𝑥 < 𝑀, (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
51	1	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
52		elfzouz 13680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
53	52	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
54	24	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
55	54	nn0zd 12604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
56		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
57		elfzo2 13678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
58	53, 55, 56, 57	syl3anbrc 1360	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (0..^𝑀))
59		fvconst2g 7190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
60	51, 58, 59	syl2an2r 697	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
61	28	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
62	61	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) = (𝑥 − 𝑀))
63	24	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
64		elfzonn0 13724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℕ0)
65	64	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
66	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
67	66	nn0red 12554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		elfzoelz 13675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
69	68	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℤ)
70	69	zred 12688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℝ)
71	67, 70	lenltd 11344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
72	71	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
73		nn0sub2 12645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0)
74	63, 65, 72, 73	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0)
75		elnn0uz 12891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
76	74, 75	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
77	37	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
78	77	nn0zd 12604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
79		elfzolt2 13685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 < 𝐿)
80	79	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 < 𝐿)
81	67	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℂ)
82	70	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℂ)
83	81, 82	pncan3d 11560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + (𝑥 − 𝑀)) = 𝑥)
84	43	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
85	80, 83, 84	3brtr4d 5136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + (𝑥 − 𝑀)) < (𝑀 + 𝑁))
86	70, 67	resubcld 11630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℝ)
87	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
88	87	nn0red 12554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
89	86, 88, 67	ltadd2d 11354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑥 − 𝑀) < 𝑁 ↔ (𝑀 + (𝑥 − 𝑀)) < (𝑀 + 𝑁)))
90	85, 89	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 − 𝑀) < 𝑁)
91	90	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) < 𝑁)
92		elfzo2 13678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑥 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝑀) < 𝑁))
93	76, 78, 91, 92	syl3anbrc 1360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ (0..^𝑁))
94	62, 93	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) ∈ (0..^𝑁))
95		fvconst2g 7190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) ∈ (0..^𝑁)) → (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})))) = 𝐴)
96	51, 94, 95	syl2an2r 697	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})))) = 𝐴)
97	60, 96	ifeqda 4520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → if(𝑥 < 𝑀, (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))) = 𝐴)
98	50, 97	eqtr2d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐴 = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
99		fvconst2g 7190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
100	1, 99	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
101	51, 5, 6	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
102	51, 8, 9	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
103		ccatsymb 14608	. . . . . . 7 ⊢ ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥) = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
104	101, 102, 69, 103	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥) = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
105	98, 100, 104	3eqtr4d 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥))
106	4, 47, 105	eqfnfvd 7018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}) = (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})))
107	106	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)))
108		frlmfzoccat.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
109		frlmfzoccat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
110		frlmfzoccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
111		frlmvscadiccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
112	109, 110, 111	frlmfzowrd 43131	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐶 → 𝑈 ∈ Word 𝑆)
113	108, 112	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝑆)
114		frlmfzoccat.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
115		frlmfzoccat.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
116		frlmfzoccat.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
117	115, 116, 111	frlmfzowrd 43131	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐷 → 𝑉 ∈ Word 𝑆)
118	114, 117	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Word 𝑆)
119	16, 19	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · 1))
120		ovexd 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
121	109, 111, 110	frlmbasf 21867	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶𝑆)
122	120, 108, 121	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(0..^𝑀)⟶𝑆)
123	122	ffnd 6696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Fn (0..^𝑀))
124		hashfn 14399	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 Fn (0..^𝑀) → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^𝑀)))
125	123, 124	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^𝑀)))
126	23, 119, 125	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = (♯‘𝑈))
127	32, 36	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = (♯‘(0..^𝑁)))
128	31, 127	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = (♯‘(0..^𝑁)))
129		ovexd 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
130	115, 111, 116	frlmbasf 21867	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶𝑆)
131	129, 114, 130	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0..^𝑁)⟶𝑆)
132	131	ffnd 6696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn (0..^𝑁))
133		hashfn 14399	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 Fn (0..^𝑁) → (♯‘𝑉) = (♯‘(0..^𝑁)))
134	132, 133	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑉) = (♯‘(0..^𝑁)))
135	128, 134	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = (♯‘𝑉))
136	7, 10, 113, 118, 126, 135	ofccat 14994	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉)))
137	107, 136	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉)))
138		frlmfzoccat.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
139		frlmfzoccat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
140		ovexd 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ∈ V)
141		frlmfzoccat.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
142	138, 109, 115, 139, 110, 116, 141, 43, 24, 37, 108, 114	frlmfzoccat 43134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)
143		frlmvscadiccat.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ( ·𝑠 ‘𝑊)
144		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
145	138, 139, 111, 140, 1, 142, 143, 144	frlmvscafval 21873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)))
146		frlmvscadiccat.p	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑋)
147	109, 110, 111, 120, 1, 108, 146, 144	frlmvscafval 21873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑈) = (((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈))
148		frlmvscadiccat.q	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
149	115, 116, 111, 129, 1, 114, 148, 144	frlmvscafval 21873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑉) = (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉))
150	147, 149	oveq12d 7418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉)))
151	137, 145, 150	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = ((𝐴 ∙ 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ifcif 4483  {csn 4585   class class class wbr 5104   × cxp 5649   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662  Fincfn 8931  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579  ℤ_≥cuz 12850  ..^cfzo 13670  ♯chash 14354  Word cword 14538   ++ cconcat 14595  Basecbs 17257  ._rcmulr 17299   ·_𝑠 cvsca 17302   freeLMod cfrlm 21853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-concat 14596  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-prds 17488  df-pws 17490  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-dsmm 21839  df-frlm 21854

This theorem is referenced by: (None)