Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmvscadiccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscadiccat 40680
Description: Scalar multiplication distributes over concatenation. (Contributed by SN, 6-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmfzoccat.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k (𝜑𝐾𝑍)
frlmfzoccat.l (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u (𝜑𝑈𝐶)
frlmfzoccat.v (𝜑𝑉𝐷)
frlmvscadiccat.o 𝑂 = ( ·𝑠𝑊)
frlmvscadiccat.p = ( ·𝑠𝑋)
frlmvscadiccat.q · = ( ·𝑠𝑌)
frlmvscadiccat.s 𝑆 = (Base‘𝐾)
frlmvscadiccat.a (𝜑𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
frlmvscadiccat (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = ((𝐴 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)))

Proof of Theorem frlmvscadiccat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmvscadiccat.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
2 fconstg 6729 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → ((0..^𝐿) × {𝐴}):(0..^𝐿)⟶{𝐴})
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}):(0..^𝐿)⟶{𝐴})
43ffnd 6669 . . . . 5 (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}) Fn (0..^𝐿))
5 fconstg 6729 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐴}):(0..^𝑀)⟶{𝐴})
6 iswrdi 14406 . . . . . . . 8 (((0..^𝑀) × {𝐴}):(0..^𝑀)⟶{𝐴} → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
71, 5, 63syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
8 fconstg 6729 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐴}):(0..^𝑁)⟶{𝐴})
9 iswrdi 14406 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) × {𝐴}):(0..^𝑁)⟶{𝐴} → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
101, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
11 ccatvalfn 14469 . . . . . . 7 ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴}) → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))))
127, 10, 11syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))))
13 fzofi 13879 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑀) ∈ Fin
14 snfi 8988 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴} ∈ Fin
15 hashxp 14334 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})))
1613, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴}))
17 hashsng 14269 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑆 → (♯‘{𝐴}) = 1)
181, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
1918oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · 1))
20 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^𝑀) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℕ0)
2113, 20mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℂ)
2322mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · 1) = (♯‘(0..^𝑀)))
24 frlmfzoccat.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
25 hashfzo0 14330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
2719, 23, 263eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})) = 𝑀)
2816, 27eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
29 fzofi 13879 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑁) ∈ Fin
30 hashxp 14334 . . . . . . . . . . . 12 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})))
3129, 14, 30mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴}))
3218oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · 1))
33 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^𝑁) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℕ0)
3429, 33mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℂ)
3635mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · 1) = (♯‘(0..^𝑁)))
37 frlmfzoccat.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
38 hashfzo0 14330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
4032, 36, 393eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = 𝑁)
4131, 40eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = 𝑁)
4228, 41oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴}))) = (𝑀 + 𝑁))
43 frlmfzoccat.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
4442, 43eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴}))) = 𝐿)
4544oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))) = (0..^𝐿))
4645fneq2d 6596 . . . . . 6 (𝜑 → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))) ↔ (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^𝐿)))
4712, 46mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^𝐿))
4828adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
4948breq2d 5117 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) ↔ 𝑥 < 𝑀))
5049ifbid 4509 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))) = if(𝑥 < 𝑀, (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
511adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐴𝑆)
52 elfzouz 13576 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ (ℤ‘0))
5352ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (ℤ‘0))
5424ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5554nn0zd 12525 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
56 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
57 elfzo2 13575 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
5853, 55, 56, 57syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (0..^𝑀))
59 fvconst2g 7151 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
6051, 58, 59syl2an2r 683 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
6128ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
6261oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) = (𝑥𝑀))
6324ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
64 elfzonn0 13617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℕ0)
6564ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
6624adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6766nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
68 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
6968adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7069zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7167, 70lenltd 11301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
7271biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀𝑥)
73 nn0sub2 12564 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝑀𝑥) → (𝑥𝑀) ∈ ℕ0)
7463, 65, 72, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥𝑀) ∈ ℕ0)
75 elnn0uz 12808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (𝑥𝑀) ∈ (ℤ‘0))
7674, 75sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥𝑀) ∈ (ℤ‘0))
7737ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7877nn0zd 12525 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
79 elfzolt2 13581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 < 𝐿)
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 < 𝐿)
8167recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℂ)
8270recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8381, 82pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + (𝑥𝑀)) = 𝑥)
8443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
8580, 83, 843brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + (𝑥𝑀)) < (𝑀 + 𝑁))
8670, 67resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥𝑀) ∈ ℝ)
8737adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8887nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
8986, 88, 67ltadd2d 11311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑥𝑀) < 𝑁 ↔ (𝑀 + (𝑥𝑀)) < (𝑀 + 𝑁)))
9085, 89mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥𝑀) < 𝑁)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥𝑀) < 𝑁)
92 elfzo2 13575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑀) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑥𝑀) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑥𝑀) < 𝑁))
9376, 78, 91, 92syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥𝑀) ∈ (0..^𝑁))
9462, 93eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) ∈ (0..^𝑁))
95 fvconst2g 7151 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆 ∧ (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) ∈ (0..^𝑁)) → (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})))) = 𝐴)
9651, 94, 95syl2an2r 683 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})))) = 𝐴)
9760, 96ifeqda 4522 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → if(𝑥 < 𝑀, (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))) = 𝐴)
9850, 97eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐴 = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
99 fvconst2g 7151 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
1001, 99sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
10151, 5, 63syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
10251, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
103 ccatsymb 14470 . . . . . . 7 ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥) = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
104101, 102, 69, 103syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥) = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
10598, 100, 1043eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥))
1064, 47, 105eqfnfvd 6985 . . . 4 (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}) = (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})))
107106oveq1d 7372 . . 3 (𝜑 → (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) ∘f (.r𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)))
108 frlmfzoccat.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝐶)
109 frlmfzoccat.x . . . . . 6 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
110 frlmfzoccat.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑋)
111 frlmvscadiccat.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝐾)
112109, 110, 111frlmfzowrd 40676 . . . . 5 (𝑈𝐶𝑈 ∈ Word 𝑆)
113108, 112syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Word 𝑆)
114 frlmfzoccat.v . . . . 5 (𝜑𝑉𝐷)
115 frlmfzoccat.y . . . . . 6 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
116 frlmfzoccat.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝑌)
117115, 116, 111frlmfzowrd 40676 . . . . 5 (𝑉𝐷𝑉 ∈ Word 𝑆)
118114, 117syl 17 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ Word 𝑆)
11916, 19eqtrid 2788 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · 1))
120 ovexd 7392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
121109, 111, 110frlmbasf 21166 . . . . . . . 8 (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶𝑆)
122120, 108, 121syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑈:(0..^𝑀)⟶𝑆)
123122ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑𝑈 Fn (0..^𝑀))
124 hashfn 14275 . . . . . 6 (𝑈 Fn (0..^𝑀) → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^𝑀)))
125123, 124syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^𝑀)))
12623, 119, 1253eqtr4d 2786 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = (♯‘𝑈))
12732, 36eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = (♯‘(0..^𝑁)))
12831, 127eqtrid 2788 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = (♯‘(0..^𝑁)))
129 ovexd 7392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
130115, 111, 116frlmbasf 21166 . . . . . . . 8 (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶𝑆)
131129, 114, 130syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑉:(0..^𝑁)⟶𝑆)
132131ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑𝑉 Fn (0..^𝑁))
133 hashfn 14275 . . . . . 6 (𝑉 Fn (0..^𝑁) → (♯‘𝑉) = (♯‘(0..^𝑁)))
134132, 133syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑉) = (♯‘(0..^𝑁)))
135128, 134eqtr4d 2779 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = (♯‘𝑉))
1367, 10, 113, 118, 126, 135ofccat 14854 . . 3 (𝜑 → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) ∘f (.r𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)𝑉)))
137107, 136eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)𝑉)))
138 frlmfzoccat.w . . 3 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
139 frlmfzoccat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
140 ovexd 7392 . . 3 (𝜑 → (0..^𝐿) ∈ V)
141 frlmfzoccat.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑍)
142138, 109, 115, 139, 110, 116, 141, 43, 24, 37, 108, 114frlmfzoccat 40679 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)
143 frlmvscadiccat.o . . 3 𝑂 = ( ·𝑠𝑊)
144 eqid 2736 . . 3 (.r𝐾) = (.r𝐾)
145138, 139, 111, 140, 1, 142, 143, 144frlmvscafval 21172 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)))
146 frlmvscadiccat.p . . . 4 = ( ·𝑠𝑋)
147109, 110, 111, 120, 1, 108, 146, 144frlmvscafval 21172 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑈) = (((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)𝑈))
148 frlmvscadiccat.q . . . 4 · = ( ·𝑠𝑌)
149115, 116, 111, 129, 1, 114, 148, 144frlmvscafval 21172 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑉) = (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)𝑉))
150147, 149oveq12d 7375 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r𝐾)𝑉)))
151137, 145, 1503eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = ((𝐴 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  Fincfn 8883  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458  Basecbs 17083  .rcmulr 17134   ·𝑠 cvsca 17137   freeLMod cfrlm 21152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator