Theorem frlmvscadiccat 42493

Description: Scalar multiplication distributes over concatenation. (Contributed by SN, 6-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzoccat.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x	⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y	⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
frlmfzoccat.l	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
frlmfzoccat.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
frlmvscadiccat.o	⊢ 𝑂 = ( ·𝑠 ‘𝑊)
frlmvscadiccat.p	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑋)
frlmvscadiccat.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscadiccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
frlmvscadiccat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscadiccat	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = ((𝐴 ∙ 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)))

Proof of Theorem frlmvscadiccat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscadiccat.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		fconstg 6796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((0..^𝐿) × {𝐴}):(0..^𝐿)⟶{𝐴})
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}):(0..^𝐿)⟶{𝐴})
4	3	ffnd 6738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}) Fn (0..^𝐿))
5		fconstg 6796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐴}):(0..^𝑀)⟶{𝐴})
6		iswrdi 14553	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑀) × {𝐴}):(0..^𝑀)⟶{𝐴} → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
7	1, 5, 6	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
8		fconstg 6796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐴}):(0..^𝑁)⟶{𝐴})
9		iswrdi 14553	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) × {𝐴}):(0..^𝑁)⟶{𝐴} → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
11		ccatvalfn 14616	. . . . . . 7 ⊢ ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴}) → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))))
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))))
13		fzofi 14012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
14		snfi 9082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
15		hashxp 14470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})))
16	13, 14, 15	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴}))
17		hashsng 14405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐴}) = 1)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
19	18	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · 1))
20		hashcl 14392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^𝑀) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℕ0)
21	13, 20	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℂ)
23	22	mulridd 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · 1) = (♯‘(0..^𝑀)))
24		frlmfzoccat.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
25		hashfzo0 14466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
27	19, 23, 26	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})) = 𝑀)
28	16, 27	eqtrid 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
29		fzofi 14012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
30		hashxp 14470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})))
31	29, 14, 30	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴}))
32	18	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · 1))
33		hashcl 14392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^𝑁) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℕ0)
34	29, 33	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℂ)
36	35	mulridd 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · 1) = (♯‘(0..^𝑁)))
37		frlmfzoccat.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		hashfzo0 14466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
40	32, 36, 39	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = 𝑁)
41	31, 40	eqtrid 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = 𝑁)
42	28, 41	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴}))) = (𝑀 + 𝑁))
43		frlmfzoccat.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
44	42, 43	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴}))) = 𝐿)
45	44	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))) = (0..^𝐿))
46	45	fneq2d 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))) ↔ (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^𝐿)))
47	12, 46	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^𝐿))
48	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
49	48	breq2d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) ↔ 𝑥 < 𝑀))
50	49	ifbid 4554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))) = if(𝑥 < 𝑀, (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
51	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
52		elfzouz 13700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
53	52	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
54	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
55	54	nn0zd 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
56		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
57		elfzo2 13699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
58	53, 55, 56, 57	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (0..^𝑀))
59		fvconst2g 7222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
60	51, 58, 59	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
61	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
62	61	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) = (𝑥 − 𝑀))
63	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
64		elfzonn0 13744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℕ0)
65	64	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
66	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
67	66	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		elfzoelz 13696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℤ)
70	69	zred 12720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℝ)
71	67, 70	lenltd 11405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
72	71	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
73		nn0sub2 12677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0)
74	63, 65, 72, 73	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0)
75		elnn0uz 12921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
76	74, 75	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
77	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
78	77	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
79		elfzolt2 13705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 < 𝐿)
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 < 𝐿)
81	67	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℂ)
82	70	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℂ)
83	81, 82	pncan3d 11621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + (𝑥 − 𝑀)) = 𝑥)
84	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
85	80, 83, 84	3brtr4d 5180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + (𝑥 − 𝑀)) < (𝑀 + 𝑁))
86	70, 67	resubcld 11689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℝ)
87	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
88	87	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
89	86, 88, 67	ltadd2d 11415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑥 − 𝑀) < 𝑁 ↔ (𝑀 + (𝑥 − 𝑀)) < (𝑀 + 𝑁)))
90	85, 89	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 − 𝑀) < 𝑁)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) < 𝑁)
92		elfzo2 13699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑥 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝑀) < 𝑁))
93	76, 78, 91, 92	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ (0..^𝑁))
94	62, 93	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) ∈ (0..^𝑁))
95		fvconst2g 7222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) ∈ (0..^𝑁)) → (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})))) = 𝐴)
96	51, 94, 95	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})))) = 𝐴)
97	60, 96	ifeqda 4567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → if(𝑥 < 𝑀, (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))) = 𝐴)
98	50, 97	eqtr2d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐴 = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
99		fvconst2g 7222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
100	1, 99	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
101	51, 5, 6	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
102	51, 8, 9	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
103		ccatsymb 14617	. . . . . . 7 ⊢ ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥) = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
104	101, 102, 69, 103	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥) = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
105	98, 100, 104	3eqtr4d 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥))
106	4, 47, 105	eqfnfvd 7054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}) = (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})))
107	106	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)))
108		frlmfzoccat.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
109		frlmfzoccat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
110		frlmfzoccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
111		frlmvscadiccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
112	109, 110, 111	frlmfzowrd 42489	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐶 → 𝑈 ∈ Word 𝑆)
113	108, 112	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝑆)
114		frlmfzoccat.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
115		frlmfzoccat.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
116		frlmfzoccat.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
117	115, 116, 111	frlmfzowrd 42489	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐷 → 𝑉 ∈ Word 𝑆)
118	114, 117	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Word 𝑆)
119	16, 19	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · 1))
120		ovexd 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
121	109, 111, 110	frlmbasf 21798	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶𝑆)
122	120, 108, 121	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(0..^𝑀)⟶𝑆)
123	122	ffnd 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Fn (0..^𝑀))
124		hashfn 14411	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 Fn (0..^𝑀) → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^𝑀)))
125	123, 124	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^𝑀)))
126	23, 119, 125	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = (♯‘𝑈))
127	32, 36	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = (♯‘(0..^𝑁)))
128	31, 127	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = (♯‘(0..^𝑁)))
129		ovexd 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
130	115, 111, 116	frlmbasf 21798	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶𝑆)
131	129, 114, 130	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0..^𝑁)⟶𝑆)
132	131	ffnd 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn (0..^𝑁))
133		hashfn 14411	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 Fn (0..^𝑁) → (♯‘𝑉) = (♯‘(0..^𝑁)))
134	132, 133	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑉) = (♯‘(0..^𝑁)))
135	128, 134	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = (♯‘𝑉))
136	7, 10, 113, 118, 126, 135	ofccat 15005	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉)))
137	107, 136	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉)))
138		frlmfzoccat.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
139		frlmfzoccat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
140		ovexd 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ∈ V)
141		frlmfzoccat.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
142	138, 109, 115, 139, 110, 116, 141, 43, 24, 37, 108, 114	frlmfzoccat 42492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)
143		frlmvscadiccat.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ( ·𝑠 ‘𝑊)
144		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
145	138, 139, 111, 140, 1, 142, 143, 144	frlmvscafval 21804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)))
146		frlmvscadiccat.p	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑋)
147	109, 110, 111, 120, 1, 108, 146, 144	frlmvscafval 21804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑈) = (((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈))
148		frlmvscadiccat.q	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
149	115, 116, 111, 129, 1, 114, 148, 144	frlmvscafval 21804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑉) = (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉))
150	147, 149	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉)))
151	137, 145, 150	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = ((𝐴 ∙ 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299   ·_𝑠 cvsca 17302   freeLMod cfrlm 21784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785

This theorem is referenced by: (None)