Theorem frlmvscadiccat 43003

Description: Scalar multiplication distributes over concatenation. (Contributed by SN, 6-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzoccat.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x	⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y	⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
frlmfzoccat.l	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
frlmfzoccat.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
frlmvscadiccat.o	⊢ 𝑂 = ( ·𝑠 ‘𝑊)
frlmvscadiccat.p	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑋)
frlmvscadiccat.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
frlmvscadiccat.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
frlmvscadiccat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscadiccat	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = ((𝐴 ∙ 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)))

Proof of Theorem frlmvscadiccat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmvscadiccat.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		fconstg 6721	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((0..^𝐿) × {𝐴}):(0..^𝐿)⟶{𝐴})
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}):(0..^𝐿)⟶{𝐴})
4	3	ffnd 6663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}) Fn (0..^𝐿))
5		fconstg 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐴}):(0..^𝑀)⟶{𝐴})
6		iswrdi 14477	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑀) × {𝐴}):(0..^𝑀)⟶{𝐴} → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
7	1, 5, 6	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
8		fconstg 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐴}):(0..^𝑁)⟶{𝐴})
9		iswrdi 14477	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) × {𝐴}):(0..^𝑁)⟶{𝐴} → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
11		ccatvalfn 14541	. . . . . . 7 ⊢ ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴}) → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))))
12	7, 10, 11	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))))
13		fzofi 13934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
14		snfi 8987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
15		hashxp 14394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})))
16	13, 14, 15	mp2an 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴}))
17		hashsng 14329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐴}) = 1)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
19	18	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · 1))
20		hashcl 14316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^𝑀) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℕ0)
21	13, 20	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) ∈ ℂ)
23	22	mulridd 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · 1) = (♯‘(0..^𝑀)))
24		frlmfzoccat.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
25		hashfzo0 14390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
27	19, 23, 26	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐴})) = 𝑀)
28	16, 27	eqtrid 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
29		fzofi 13934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
30		hashxp 14394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})))
31	29, 14, 30	mp2an 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴}))
32	18	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · 1))
33		hashcl 14316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^𝑁) ∈ Fin → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℕ0)
34	29, 33	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) ∈ ℂ)
36	35	mulridd 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · 1) = (♯‘(0..^𝑁)))
37		frlmfzoccat.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		hashfzo0 14390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
40	32, 36, 39	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = 𝑁)
41	31, 40	eqtrid 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = 𝑁)
42	28, 41	oveq12d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴}))) = (𝑀 + 𝑁))
43		frlmfzoccat.l	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
44	42, 43	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴}))) = 𝐿)
45	44	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))) = (0..^𝐿))
46	45	fneq2d 6586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^((♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) + (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})))) ↔ (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^𝐿)))
47	12, 46	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) Fn (0..^𝐿))
48	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
49	48	breq2d 5091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) ↔ 𝑥 < 𝑀))
50	49	ifbid 4485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))) = if(𝑥 < 𝑀, (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
51	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
52		elfzouz 13616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
53	52	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
54	24	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
55	54	nn0zd 12547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
56		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
57		elfzo2 13614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
58	53, 55, 56, 57	syl3anbrc 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (0..^𝑀))
59		fvconst2g 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
60	51, 58, 59	syl2an2r 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
61	28	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = 𝑀)
62	61	oveq2d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) = (𝑥 − 𝑀))
63	24	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
64		elfzonn0 13660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℕ0)
65	64	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
66	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
67	66	nn0red 12497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
68		elfzoelz 13611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℤ)
70	69	zred 12631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℝ)
71	67, 70	lenltd 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
72	71	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
73		nn0sub2 12588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0)
74	63, 65, 72, 73	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0)
75		elnn0uz 12827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
76	74, 75	sylib 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
77	37	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
78	77	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
79		elfzolt2 13621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 < 𝐿)
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 < 𝐿)
81	67	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑀 ∈ ℂ)
82	70	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑥 ∈ ℂ)
83	81, 82	pncan3d 11506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + (𝑥 − 𝑀)) = 𝑥)
84	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
85	80, 83, 84	3brtr4d 5111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑀 + (𝑥 − 𝑀)) < (𝑀 + 𝑁))
86	70, 67	resubcld 11576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℝ)
87	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
88	87	nn0red 12497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
89	86, 88, 67	ltadd2d 11300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑥 − 𝑀) < 𝑁 ↔ (𝑀 + (𝑥 − 𝑀)) < (𝑀 + 𝑁)))
90	85, 89	mpbird 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑥 − 𝑀) < 𝑁)
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) < 𝑁)
92		elfzo2 13614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑥 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 𝑀) < 𝑁))
93	76, 78, 91, 92	syl3anbrc 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ (0..^𝑁))
94	62, 93	eqeltrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) ∈ (0..^𝑁))
95		fvconst2g 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))) ∈ (0..^𝑁)) → (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})))) = 𝐴)
96	51, 94, 95	syl2an2r 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})))) = 𝐴)
97	60, 96	ifeqda 4498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → if(𝑥 < 𝑀, (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))) = 𝐴)
98	50, 97	eqtr2d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐴 = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
99		fvconst2g 7153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
100	1, 99	sylan 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
101	51, 5, 6	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
102	51, 8, 9	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴})
103		ccatsymb 14543	. . . . . . 7 ⊢ ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ ((0..^𝑁) × {𝐴}) ∈ Word {𝐴} ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥) = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
104	101, 102, 69, 103	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥) = if(𝑥 < (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})), (((0..^𝑀) × {𝐴})‘𝑥), (((0..^𝑁) × {𝐴})‘(𝑥 − (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴}))))))
105	98, 100, 104	3eqtr4d 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (((0..^𝐿) × {𝐴})‘𝑥) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴}))‘𝑥))
106	4, 47, 105	eqfnfvd 6981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝐿) × {𝐴}) = (((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})))
107	106	oveq1d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)))
108		frlmfzoccat.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
109		frlmfzoccat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
110		frlmfzoccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
111		frlmvscadiccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
112	109, 110, 111	frlmfzowrd 42999	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐶 → 𝑈 ∈ Word 𝑆)
113	108, 112	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word 𝑆)
114		frlmfzoccat.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
115		frlmfzoccat.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
116		frlmfzoccat.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
117	115, 116, 111	frlmfzowrd 42999	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐷 → 𝑉 ∈ Word 𝑆)
118	114, 117	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Word 𝑆)
119	16, 19	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · 1))
120		ovexd 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
121	109, 111, 110	frlmbasf 21742	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶𝑆)
122	120, 108, 121	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(0..^𝑀)⟶𝑆)
123	122	ffnd 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Fn (0..^𝑀))
124		hashfn 14335	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 Fn (0..^𝑀) → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^𝑀)))
125	123, 124	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = (♯‘(0..^𝑀)))
126	23, 119, 125	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐴})) = (♯‘𝑈))
127	32, 36	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐴})) = (♯‘(0..^𝑁)))
128	31, 127	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = (♯‘(0..^𝑁)))
129		ovexd 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
130	115, 111, 116	frlmbasf 21742	. . . . . . . 8 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶𝑆)
131	129, 114, 130	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0..^𝑁)⟶𝑆)
132	131	ffnd 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn (0..^𝑁))
133		hashfn 14335	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 Fn (0..^𝑁) → (♯‘𝑉) = (♯‘(0..^𝑁)))
134	132, 133	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑉) = (♯‘(0..^𝑁)))
135	128, 134	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐴})) = (♯‘𝑉))
136	7, 10, 113, 118, 126, 135	ofccat 14929	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ++ ((0..^𝑁) × {𝐴})) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉)))
137	107, 136	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉)))
138		frlmfzoccat.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
139		frlmfzoccat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
140		ovexd 7398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐿) ∈ V)
141		frlmfzoccat.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
142	138, 109, 115, 139, 110, 116, 141, 43, 24, 37, 108, 114	frlmfzoccat 43002	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)
143		frlmvscadiccat.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ( ·𝑠 ‘𝑊)
144		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
145	138, 139, 111, 140, 1, 142, 143, 144	frlmvscafval 21748	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = (((0..^𝐿) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)(𝑈 ++ 𝑉)))
146		frlmvscadiccat.p	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑋)
147	109, 110, 111, 120, 1, 108, 146, 144	frlmvscafval 21748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑈) = (((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈))
148		frlmvscadiccat.q	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
149	115, 116, 111, 129, 1, 114, 148, 144	frlmvscafval 21748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑉) = (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉))
150	147, 149	oveq12d 7381	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)) = ((((0..^𝑀) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑈) ++ (((0..^𝑁) × {𝐴}) ∘f (.r‘𝐾)𝑉)))
151	137, 145, 150	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑂(𝑈 ++ 𝑉)) = ((𝐴 ∙ 𝑈) ++ (𝐴 · 𝑉)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ifcif 4461  {csn 4562   class class class wbr 5079   × cxp 5623   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625  Fincfn 8890  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ..^cfzo 13606  ♯chash 14290  Word cword 14473   ++ cconcat 14530  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219   ·_𝑠 cvsca 17222   freeLMod cfrlm 21728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-prds 17408  df-pws 17410  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-dsmm 21714  df-frlm 21729

This theorem is referenced by: (None)