MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatlid 13931
Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatlid (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem ccatlid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 13882 . . . 4 ∅ ∈ Word 𝐵
2 ccatvalfn 13926 . . . 4 ((∅ ∈ Word 𝐵𝑆 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
31, 2mpan 689 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
4 hash0 13724 . . . . . . . 8 (♯‘∅) = 0
54oveq1i 7150 . . . . . . 7 ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)) = (0 + (♯‘𝑆))
6 lencl 13876 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11945 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
87addid2d 10830 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
95, 8syl5eq 2869 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
109eqcomd 2828 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) = ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))
1110oveq2d 7156 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘𝑆)) = (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
1211fneq2d 6426 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))))
133, 12mpbird 260 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
14 wrdfn 13871 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
154a1i 11 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘∅) = 0)
1615, 9oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))) = (0..^(♯‘𝑆)))
1716eleq2d 2899 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
1817biimpar 481 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
19 ccatval2 13923 . . . . 5 ((∅ ∈ Word 𝐵𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
201, 19mp3an1 1445 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
2118, 20syldan 594 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
224oveq2i 7151 . . . . 5 (𝑥 − (♯‘∅)) = (𝑥 − 0)
23 elfzoelz 13033 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2423adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
2524zcnd 12076 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
2625subid1d 10975 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
2722, 26syl5eq 2869 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − (♯‘∅)) = 𝑥)
2827fveq2d 6656 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))) = (𝑆𝑥))
2921, 28eqtrd 2857 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
3013, 14, 29eqfnfvd 6787 1 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  c0 4265   Fn wfn 6329  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526   + caddc 10529  cmin 10859  cz 11969  ..^cfzo 13028  chash 13686  Word cword 13857   ++ cconcat 13913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914
This theorem is referenced by:  ccatidid  13935  ccat1st1st  13975  swrdccat  14088  s0s1  14275  gsumccatOLD  17996  gsumccat  17997  frmdmnd  18015  frmd0  18016  efgcpbl2  18874  frgp0  18877  frgpnabllem1  18984  signstfvneq0  31916  lpadlen1  32024
  Copyright terms: Public domain W3C validator