Theorem ccatlid 14620

Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatlid	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem ccatlid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 14572	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐵
2		ccatvalfn 14614	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
3	1, 2	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
4		hash0 14399	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	4	oveq1i 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)) = (0 + (♯‘𝑆))
6		lencl 14566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
8	7	addlidd 11407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
9	5, 8	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
10	9	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) = ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))
11	10	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘𝑆)) = (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
12	11	fneq2d 6627	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))))
13	3, 12	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
14		wrdfn 14561	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
15	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘∅) = 0)
16	15, 9	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))) = (0..^(♯‘𝑆)))
17	16	eleq2d 2855	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
18	17	biimpar 482	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
19		ccatval2 14611	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
20	1, 19	mp3an1 1474	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
21	18, 20	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
22	4	oveq2i 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 − (♯‘∅)) = (𝑥 − 0)
23		elfzoelz 13683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → 𝑥 ∈ ℤ)
24	23	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	25	subid1d 11554	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
27	22, 26	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − (♯‘∅)) = 𝑥)
28	27	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))) = (𝑆‘𝑥))
29	21, 28	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
30	13, 14, 29	eqfnfvd 7026	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0cc0 11096   + caddc 11099   − cmin 11437  ℤcz 12587  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546   ++ cconcat 14603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604

This theorem is referenced by:  ccatidid  14624  ccat1st1st  14662  swrdccat  14768  s0s1  14955  gsumccat  18896  frmdmnd  18914  frmd0  18915  efgcpbl2  19823  frgp0  19826  frgpnabllem1  19939  signstfvneq0  34900  lpadlen1  35010