Theorem ccatlid 14300

Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatlid	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem ccatlid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 14251	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐵
2		ccatvalfn 14295	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
3	1, 2	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
4		hash0 14091	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	4	oveq1i 7294	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)) = (0 + (♯‘𝑆))
6		lencl 14245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
8	7	addid2d 11185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
9	5, 8	eqtrid 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
10	9	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) = ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))
11	10	oveq2d 7300	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘𝑆)) = (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
12	11	fneq2d 6536	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))))
13	3, 12	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
14		wrdfn 14240	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
15	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘∅) = 0)
16	15, 9	oveq12d 7302	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))) = (0..^(♯‘𝑆)))
17	16	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
18	17	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
19		ccatval2 14292	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
20	1, 19	mp3an1 1447	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
21	18, 20	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
22	4	oveq2i 7295	. . . . 5 ⊢ (𝑥 − (♯‘∅)) = (𝑥 − 0)
23		elfzoelz 13396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → 𝑥 ∈ ℤ)
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	25	subid1d 11330	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
27	22, 26	eqtrid 2791	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − (♯‘∅)) = 𝑥)
28	27	fveq2d 6787	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))) = (𝑆‘𝑥))
29	21, 28	eqtrd 2779	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
30	13, 14, 29	eqfnfvd 6921	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4257   Fn wfn 6432  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  0cc0 10880   + caddc 10883   − cmin 11214  ℤcz 12328  ..^cfzo 13391  ♯chash 14053  Word cword 14226   ++ cconcat 14282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-hash 14054  df-word 14227  df-concat 14283

This theorem is referenced by:  ccatidid  14304  ccat1st1st  14344  swrdccat  14457  s0s1  14644  gsumccatOLD  18488  gsumccat  18489  frmdmnd  18507  frmd0  18508  efgcpbl2  19372  frgp0  19375  frgpnabllem1  19483  signstfvneq0  32560  lpadlen1  32668