Theorem ccatrid 14497

Description: Concatenation of a word by the empty word on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatrid	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) = 𝑆)

Proof of Theorem ccatrid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 14448	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐵
2		ccatvalfn 14490	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ ∅ ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅))))
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅))))
4		hash0 14276	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	4	oveq2i 7363	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) + (♯‘∅)) = ((♯‘𝑆) + 0)
6		lencl 14442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
8	7	addridd 11320	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑆) + 0) = (♯‘𝑆))
9	5, 8	eqtr2id 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) = ((♯‘𝑆) + (♯‘∅)))
10	9	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘𝑆)) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅))))
11	10	fneq2d 6580	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ ∅) Fn (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅)))))
12	3, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
13		wrdfn 14437	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
14		ccatval1 14486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ ∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ∅)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
15	1, 14	mp3an2 1451	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ∅)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
16	12, 13, 15	eqfnfvd 6973	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013   + caddc 11016  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422   ++ cconcat 14479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480

This theorem is referenced by:  lswccat0lsw  14502  swrdccat  14644  swrdccat3blem  14648  cshw0  14703  gsumccat  18751  frmdmnd  18769  frmd0  18770  efginvrel2  19641  efgredleme  19657  efgcpbllemb  19669  efgcpbl2  19671  frgpnabllem1  19787  signstfvc  34608