MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatrid 14622
Description: Concatenation of a word by the empty word on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatrid (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) = 𝑆)

Proof of Theorem ccatrid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 14574 . . . 4 ∅ ∈ Word 𝐵
2 ccatvalfn 14616 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ ∅ ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅))))
31, 2mpan2 691 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅))))
4 hash0 14403 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
54oveq2i 7442 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) + (♯‘∅)) = ((♯‘𝑆) + 0)
6 lencl 14568 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12587 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
87addridd 11459 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑆) + 0) = (♯‘𝑆))
95, 8eqtr2id 2788 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) = ((♯‘𝑆) + (♯‘∅)))
109oveq2d 7447 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘𝑆)) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅))))
1110fneq2d 6663 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ ∅) Fn (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅)))))
123, 11mpbird 257 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
13 wrdfn 14563 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
14 ccatval1 14612 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ ∅ ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ∅)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
151, 14mp3an2 1448 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ∅)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
1612, 13, 15eqfnfvd 7054 1 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  c0 4339   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   + caddc 11156  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606
This theorem is referenced by:  lswccat0lsw  14627  swrdccat  14770  swrdccat3blem  14774  cshw0  14829  gsumccat  18867  frmdmnd  18885  frmd0  18886  efginvrel2  19760  efgredleme  19776  efgcpbllemb  19788  efgcpbl2  19790  frgpnabllem1  19906  signstfvc  34568
  Copyright terms: Public domain W3C validator