Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatrid 13936
 Description: Concatenation of a word by the empty word on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatrid (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) = 𝑆)

Proof of Theorem ccatrid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrd0 13884 . . . 4 ∅ ∈ Word 𝐵
2 ccatvalfn 13930 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ ∅ ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅))))
31, 2mpan2 687 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅))))
4 hash0 13723 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
54oveq2i 7161 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) + (♯‘∅)) = ((♯‘𝑆) + 0)
6 lencl 13878 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11951 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
87addid1d 10834 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑆) + 0) = (♯‘𝑆))
95, 8syl5req 2874 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) = ((♯‘𝑆) + (♯‘∅)))
109oveq2d 7166 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘𝑆)) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅))))
1110fneq2d 6446 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ ∅) Fn (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘∅)))))
123, 11mpbird 258 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
13 wrdfn 13871 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
14 ccatval1 13925 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ ∅ ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ∅)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
151, 14mp3an2 1442 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ∅)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
1612, 13, 15eqfnfvd 6803 1 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ ∅) = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∅c0 4295   Fn wfn 6349  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150  0cc0 10531   + caddc 10534  ..^cfzo 13028  ♯chash 13685  Word cword 13856   ++ cconcat 13917 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-concat 13918 This theorem is referenced by:  lswccat0lsw  13941  swrdccat  14092  swrdccat3blem  14096  cshw0  14151  gsumccatOLD  18000  gsumccat  18001  frmdmnd  18019  frmd0  18020  efginvrel2  18789  efgredleme  18805  efgcpbllemb  18817  efgcpbl2  18819  frgpnabllem1  18929  signstfvc  31749
 Copyright terms: Public domain W3C validator