Theorem pfxccatin12 14756

Description: The subword of a concatenation of two words within both of the concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Apr-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))

Proof of Theorem pfxccatin12

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
2	1	pfxccatin12lem2c 14753	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
3		swrdvalfn 14674	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
5		swrdcl 14668	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉)
6		pfxcl 14700	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉)
7		ccatvalfn 14604	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
10		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
11		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
12		lencl 14556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
13		nn0fz0 13647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
14	12, 13	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
15	1, 14	eqeltrid 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
17		swrdlen 14670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝑀))
18	10, 11, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝑀))
19		lencl 14556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
20	19	nn0zd 12619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
21		elfzmlbp 13661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
22	20, 21	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
23		pfxlen 14706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) = (𝑁 − 𝐿))
24	22, 23	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) = (𝑁 − 𝐿))
25	24	ad2ant2l 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) = (𝑁 − 𝐿))
26	18, 25	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))) = ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))
27		elfz2nn0 13640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
28		nn0cn 12516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
29	28	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℂ)
30		nn0cn 12516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
31	30	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
32		zcn 12598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
34	29, 31, 33	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
35	34	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
36		elfzelz 13546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → 𝑁 ∈ ℤ)
37	35, 36	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
38	37	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
39	27, 38	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
40	39	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
41		npncan3 11526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
44	26, 43	eqtr2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝑀) = ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))
45	44	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (0..^(𝑁 − 𝑀)) = (0..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
46	45	fneq2d 6637	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))
47	9, 46	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
48		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
49		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
50	49	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
51	50	ancomd 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))))
52	1	pfxccatin12lem3 14755	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝑘)))
53	48, 51, 52	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝑘))
54	5, 6	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉))
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉))
56	55	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉))
57		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))
58	18	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))) = (0..^(𝐿 − 𝑀)))
59	58	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))) = (0..^(𝐿 − 𝑀)))
60	57, 59	eleqtrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))
61		df-3an 1088	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))) ↔ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
62	56, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
63		ccatval1 14600	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))) → (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝑘))
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝑘))
65	53, 64	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘))
66		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
67	49	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
68	67	ancomd 461	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))))
69	1	pfxccatin12lem2 14754	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝑘 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))
70	66, 68, 69	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝑘 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
71	55	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉))
72		elfzuz 13542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
73		eluzelz 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
74		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
75	74	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
76	75	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
77	76	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
78	27, 77	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
79	73, 78	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
80	72, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
81	80	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
83	82	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
84		pfxccatin12lem4 14749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
85	83, 68, 84	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
86	18, 26	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))) = ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
87	86	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))) = ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
88	85, 87	eleqtrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
89		df-3an 1088	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))) ↔ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))
90	71, 88, 89	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))
91		ccatval2 14601	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))) → (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝑘 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
92	90, 91	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝑘 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
93	70, 92	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘))
94	65, 93	pm2.61ian 811	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘))
95	4, 47, 94	eqfnfvd 7029	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
96	95	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134   + caddc 11137   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Word cword 14536   ++ cconcat 14593   substr csubstr 14663   prefix cpfx 14693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-substr 14664  df-pfx 14694

This theorem is referenced by:  pfxccat3  14757  pfxccatpfx2  14760  pfxccatin12d  14768