Theorem fneq1 6631

Description: Equality theorem for function predicate with domain. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fneq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐺 Fn 𝐴))

Proof of Theorem fneq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funeq 6560	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (Fun 𝐹 ↔ Fun 𝐺))
2		dmeq 5884	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → dom 𝐹 = dom 𝐺)
3	2	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (dom 𝐹 = 𝐴 ↔ dom 𝐺 = 𝐴))
4	1, 3	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴) ↔ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = 𝐴)))
5		df-fn 6542	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴))
6		df-fn 6542	. 2 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 ↔ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = 𝐴))
7	4, 5, 6	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐺 Fn 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  dom cdm 5650  Fun wfun 6533   Fn wfn 6534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-fun 6541  df-fn 6542

This theorem is used by:  fneq1d  6633  fneq1i  6637  fn0  6671  feq1  6688  foeq1  6793  f1ocnv  6838  dffn5  6944  mpteqb  7014  fnsnbg  7170  fnsnbOLD  7172  fnprb  7215  fntpb  7216  eufnfv  7236  frrlem1  8308  frrlem13  8320  tfrlem12  8401  fsetdmprc0  8881  mapval2  8904  elixp2  8933  ixpfn  8935  elixpsn  8969  inf3lem6  9638  ssttrcl  9720  ttrcltr  9721  ttrclss  9725  ttrclselem2  9731  aceq3lem  10203  dfac4  10205  dfacacn  10224  axcc2lem  10518  axcc3  10520  seqof  14206  ccatvalfn  14730  cshword  14947  0csh0  14949  rrgsupp  20959  lmodfopnelem1  21179  elpt  23897  elptr  23898  ptcmplem3  24379  prdsxmslem2  24854  tgjustr  28942  esplyind  34254  bnj62  35398  bnj976  35455  bnj66  35537  bnj124  35548  bnj607  35593  bnj873  35601  bnj1234  35690  bnj1463  35732  fineqvac  35841  fineqvnttrclse  35849  gblacfnacd  35949  mirimanoffr  36547  eqresfnbd  43380  dssmapf1od  45115  fnchoice  46140  choicefi  46308  axccdom  46329  dfafn5b  48325  rngchomffvalALTV  49469  ixpv  50097  iinfconstbaslem  50273  iinfconstbas  50274  nelsubc3lem  50278  functhinclem1  50673  cnelsubcw  50835