Theorem pfxccat1 14608

Description: Recover the left half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by AV, 6-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccat1	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Proof of Theorem pfxccat1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 14481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		lencl 14440	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3		lencl 14440	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
4	2, 3	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0))
5		nn0fz0 13528	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
6	2, 5	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
8		elfz0add 13529	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
9	4, 7, 8	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
10		ccatlen 14482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
11	10	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
12	9, 11	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
13		pfxres 14586	. . 3 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
14	1, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
15		ccatvalfn 14488	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
16	2	nn0zd 12497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
17	16	uzidd 12751	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
18		uzaddcl 12805	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
19	17, 3, 18	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
20		fzoss2 13590	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
22	15, 21	fnssresd 6606	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
23		wrdfn 14435	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
25		fvres 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
27		ccatval1 14484	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
28	27	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
29	26, 28	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
30	22, 24, 29	eqfnfvd 6968	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
31	14, 30	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903   ↾ cres 5621   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009   + caddc 11012  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420   ++ cconcat 14477   prefix cpfx 14577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-substr 14548  df-pfx 14578

This theorem is referenced by:  ccatopth  14622  reuccatpfxs1  14653  wwlksnextbi  29839  wwlksnextsurj  29845  clwwlkfo  29994  ccatws1f1olast  32894  gsumwrd2dccatlem  33019  ccatcan2d  42224