Theorem pfxccat1 14761

Description: Recover the left half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by AV, 6-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccat1	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Proof of Theorem pfxccat1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 14629	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		lencl 14588	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3		lencl 14588	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
4	2, 3	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0))
5		nn0fz0 13670	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
6	2, 5	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
8		elfz0add 13671	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
9	4, 7, 8	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
10		ccatlen 14630	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
11	10	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
12	9, 11	eleqtrrd 2868	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
13		pfxres 14739	. . 3 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
14	1, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
15		ccatvalfn 14636	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
16	2	nn0zd 12631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
17	16	uzidd 12894	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
18		uzaddcl 12944	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
19	17, 3, 18	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
20		fzoss2 13733	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
21	19, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
22	15, 21	fnssresd 6663	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
23		wrdfn 14583	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
25		fvres 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
26	25	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
27		ccatval1 14632	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
28	27	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
29	26, 28	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
30	22, 24, 29	eqfnfvd 7032	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
31	14, 30	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   ↾ cres 5665   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115   + caddc 11118  ℕ₀cn0 12519  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551  ..^cfzo 13699  ♯chash 14384  Word cword 14568   ++ cconcat 14625   prefix cpfx 14730

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-concat 14626  df-substr 14699  df-pfx 14731

This theorem is used by:  ccatopth  14775  reuccatpfxs1  14806  wwlksnextbi  30310  wwlksnextsurj  30316  clwwlkfo  30468  ccatws1f1olast  33338  gsumwrd2dccatlem  33461  ccatcan2d  43077