Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxccat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccat1 14125
 Description: Recover the left half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by AV, 6-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxccat1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Proof of Theorem pfxccat1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13987 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2 lencl 13946 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3 lencl 13946 . . . . . 6 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
42, 3anim12i 615 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0))
5 nn0fz0 13068 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
62, 5sylib 221 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
76adantr 484 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
8 elfz0add 13069 . . . . 5 (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
94, 7, 8sylc 65 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
10 ccatlen 13988 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
1110oveq2d 7173 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
129, 11eleqtrrd 2856 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
13 pfxres 14102 . . 3 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
141, 12, 13syl2anc 587 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
15 ccatvalfn 13996 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
162nn0zd 12138 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
1716uzidd 12312 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
18 uzaddcl 12358 . . . . . 6 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
1917, 3, 18syl2an 598 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
20 fzoss2 13128 . . . . 5 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
2215, 21fnssresd 6460 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
23 wrdfn 13941 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
2423adantr 484 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
25 fvres 6683 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
2625adantl 485 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
27 ccatval1 13991 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆𝑘))
28273expa 1116 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆𝑘))
2926, 28eqtrd 2794 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑆𝑘))
3022, 24, 29eqfnfvd 6802 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
3114, 30eqtrd 2794 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3861   ↾ cres 5531   Fn wfn 6336  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  0cc0 10589   + caddc 10592  ℕ0cn0 11948  ℤ≥cuz 12296  ...cfz 12953  ..^cfzo 13096  ♯chash 13754  Word cword 13927   ++ cconcat 13983   prefix cpfx 14093 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-hash 13755  df-word 13928  df-concat 13984  df-substr 14064  df-pfx 14094 This theorem is referenced by:  ccatopth  14139  reuccatpfxs1  14170  wwlksnextbi  27794  wwlksnextsurj  27800  clwwlkfo  27949  ccatcan2d  39766
 Copyright terms: Public domain W3C validator