Theorem pfxccat1 14772

Description: Recover the left half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by AV, 6-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccat1	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

Proof of Theorem pfxccat1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 14640	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		lencl 14599	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3		lencl 14599	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
4	2, 3	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0))
5		nn0fz0 13681	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
6	2, 5	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
8		elfz0add 13682	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
9	4, 7, 8	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
10		ccatlen 14641	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
11	10	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
12	9, 11	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
13		pfxres 14750	. . 3 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
14	1, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
15		ccatvalfn 14647	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
16	2	nn0zd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
17	16	uzidd 12904	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
18		uzaddcl 12954	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
19	17, 3, 18	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
20		fzoss2 13744	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
21	19, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
22	15, 21	fnssresd 6657	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
23		wrdfn 14594	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
25		fvres 6898	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
26	25	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
27		ccatval1 14643	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
28	27	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
29	26, 28	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
30	22, 24, 29	eqfnfvd 7026	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
31	14, 30	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   ↾ cres 5657   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125   + caddc 11128  ℕ₀cn0 12529  ℤ_≥cuz 12888  ...cfz 13562  ..^cfzo 13710  ♯chash 14395  Word cword 14579   ++ cconcat 14636   prefix cpfx 14741

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-hash 14396  df-word 14580  df-concat 14637  df-substr 14710  df-pfx 14742

This theorem is used by:  ccatopth  14786  reuccatpfxs1  14817  wwlksnextbi  30363  wwlksnextsurj  30369  clwwlkfo  30521  ccatws1f1olast  33395  gsumwrd2dccatlem  33518  ccatcan2d  43119