MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatrn 13563
Description: The range of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatrn ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Proof of Theorem ccatrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatvalfn 13555 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
2 lencl 13508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
32adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
4 nn0uz 11925 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
53, 4syl6eleq 2854 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
63nn0zd 11730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
7 uzid 11904 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
9 lencl 13508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
109adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
11 uzaddcl 11947 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
128, 10, 11syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
13 elfzuzb 12546 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆))))
145, 12, 13sylanbrc 578 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
15 fzosplit 12712 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
1716eleq2d 2830 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))))
18 elun 3917 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
1917, 18syl6bb 278 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))))
20 ccatval1 13551 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
21203expa 1147 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
22 ssun1 3940 . . . . . . . . . 10 ran 𝑆 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
23 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
24 wrdf 13494 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
25 ffn 6225 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
27 fnfvelrn 6548 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ ran 𝑆)
2826, 27sylan 575 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ ran 𝑆)
2922, 28sseldi 3761 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
3021, 29eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
31 ccatval2 13552 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
32313expa 1147 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
33 ssun2 3941 . . . . . . . . . 10 ran 𝑇 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
34 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
35 wrdf 13494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Word 𝐵𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
36 ffn 6225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
3837adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
39 elfzouz 12685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
4039adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
41 uznn0sub 11922 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
4342, 4syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0))
4410nn0zd 11730 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
46 elfzolt2 12690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
48 elfzoelz 12681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
5049zred 11732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
516adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
5251zred 11732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
5345zred 11732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
5450, 52, 53ltsubadd2d 10881 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇) ↔ 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
5547, 54mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇))
56 elfzo2 12684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ↔ ((𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇)))
5743, 45, 55, 56syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
58 fnfvelrn 6548 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
5938, 57, 58syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
6033, 59sseldi 3761 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
6132, 60eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
6230, 61jaodan 980 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
6362ex 401 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
6419, 63sylbid 231 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
6564ralrimiv 3112 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
66 ffnfv 6580 . . . 4 ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
671, 65, 66sylanbrc 578 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
6867frnd 6232 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
691adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
70 fzoss2 12707 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
7112, 70syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
7271sselda 3763 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
73 fnfvelrn 6548 . . . . . . . 8 (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
7469, 72, 73syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
7521, 74eqeltrrd 2845 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
7675ralrimiva 3113 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))(𝑆𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
77 ffnfv 6580 . . . . 5 (𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))(𝑆𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
7826, 76, 77sylanbrc 578 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
7978frnd 6232 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑆 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
80 ccatval3 13553 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) = (𝑇𝑥))
81803expa 1147 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) = (𝑇𝑥))
821adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
83 elfzouz 12685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘0))
8483adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘0))
8584, 4syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
863adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
8785, 86nn0addcld 11604 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
8887, 4syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0))
893, 10nn0addcld 11604 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
9089nn0zd 11730 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
9190adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
9285nn0cnd 11602 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
9386nn0cnd 11602 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
9492, 93addcomd 10494 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) = ((♯‘𝑆) + 𝑥))
9585nn0red 11601 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9610adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
9796nn0red 11601 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
9886nn0red 11601 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
99 elfzolt2 12690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 < (♯‘𝑇))
10099adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 < (♯‘𝑇))
10195, 97, 98, 100ltadd2dd 10452 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆) + 𝑥) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
10294, 101eqbrtrd 4833 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
103 elfzo2 12684 . . . . . . . . 9 ((𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (♯‘𝑆)) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
10488, 91, 102, 103syl3anbrc 1443 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
105 fnfvelrn 6548 . . . . . . . 8 (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
10682, 104, 105syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
10781, 106eqeltrrd 2845 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
108107ralrimiva 3113 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))(𝑇𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
109 ffnfv 6580 . . . . 5 (𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))(𝑇𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
11037, 108, 109sylanbrc 578 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
111110frnd 6232 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑇 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
11279, 111unssd 3953 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
11368, 112eqssd 3780 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cun 3732  wss 3734   class class class wbr 4811  ran crn 5280   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  0cc0 10191   + caddc 10194   < clt 10330  cmin 10522  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  ...cfz 12536  ..^cfzo 12676  chash 13324  Word cword 13489   ++ cconcat 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-hash 13325  df-word 13490  df-concat 13545
This theorem is referenced by:  mrsubvrs  31870
  Copyright terms: Public domain W3C validator