Theorem ccatrn 14294

Description: The range of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatrn	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Proof of Theorem ccatrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatvalfn 14286	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
2		lencl 14236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3		nn0uz 12620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
6	2	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
7	6	uzidd 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
8		lencl 14236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
9		uzaddcl 12644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
11		elfzuzb 13250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆))))
12	5, 10, 11	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
13		fzosplit 13420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
15	14	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))))
16		elun 4083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
17	15, 16	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))))
18		ccatval1 14281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
19	18	3expa 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
20		ssun1 4106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑆 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
21		wrdfn 14231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
23		fnfvelrn 6958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran 𝑆)
24	22, 23	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran 𝑆)
25	20, 24	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
26	19, 25	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
27		ccatval2 14283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
28	27	3expa 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
29		ssun2 4107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝑇 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
30		wrdfn 14231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
32		elfzouz 13391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
33		uznn0sub 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
35	34, 3	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
37	8	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
38	37	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
39		elfzolt2 13396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
41		elfzoelz 13387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℤ)
42	41	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
44	2	nn0red 12294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
45	44	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
46	8	nn0red 12294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
47	46	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
48	43, 45, 47	ltsubadd2d 11573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇) ↔ 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
49	40, 48	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇))
50		elfzo2 13390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ↔ ((𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇)))
51	36, 38, 49, 50	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
52		fnfvelrn 6958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
53	31, 51, 52	syl2an2r 682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
54	29, 53	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
55	28, 54	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
56	26, 55	jaodan 955	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
57	56	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
58	17, 57	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
59	58	ralrimiv 3102	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
60		ffnfv 6992	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
61	1, 59, 60	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
62	61	frnd 6608	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
63		fzoss2 13415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
64	10, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
65	64	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
66		fnfvelrn 6958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
67	1, 65, 66	syl2an2r 682	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
68	19, 67	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
69	68	ralrimiva 3103	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))(𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
70		ffnfv 6992	. . . . 5 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))(𝑆‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
71	22, 69, 70	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
72	71	frnd 6608	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑆 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
73		ccatval3 14284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑥))
74	73	3expa 1117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑥))
75		elfzouz 13391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
76	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
77		uzaddcl 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
78	75, 76, 77	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0))
79		nn0addcl 12268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
80	2, 8, 79	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
81	80	nn0zd 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
82	81	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
83		elfzonn0 13432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
84	83	nn0cnd 12295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
85	2	nn0cnd 12295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
87		addcom 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℂ) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) = ((♯‘𝑆) + 𝑥))
88	84, 86, 87	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) = ((♯‘𝑆) + 𝑥))
89	83	nn0red 12294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
91	46	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
92	44	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
93		elfzolt2 13396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 < (♯‘𝑇))
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 < (♯‘𝑇))
95	90, 91, 92, 94	ltadd2dd 11134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆) + 𝑥) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
96	88, 95	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
97		elfzo2 13390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (♯‘𝑆)) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
98	78, 82, 96, 97	syl3anbrc 1342	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
99		fnfvelrn 6958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
100	1, 98, 99	syl2an2r 682	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
101	74, 100	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
102	101	ralrimiva 3103	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))(𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
103		ffnfv 6992	. . . . 5 ⊢ (𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))(𝑇‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
104	31, 102, 103	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
105	104	frnd 6608	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑇 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
106	72, 105	unssd 4120	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
107	62, 106	eqssd 3938	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   < clt 11009   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274

This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  31391  cycpmco2rn  31392  mrsubvrs  33484