MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatrn 14624
Description: The range of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatrn ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))

Proof of Theorem ccatrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatvalfn 14616 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
2 lencl 14568 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
42, 3eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
62nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
76uzidd 12892 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
8 lencl 14568 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
9 uzaddcl 12944 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
107, 8, 9syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
11 elfzuzb 13555 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆))))
125, 10, 11sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
13 fzosplit 13729 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) = ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
1514eleq2d 2825 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))))
16 elun 4163 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝑆)) ∪ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
1715, 16bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))))
18 ccatval1 14612 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
19183expa 1117 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
20 ssun1 4188 . . . . . . . . . 10 ran 𝑆 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
21 wrdfn 14563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
23 fnfvelrn 7100 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ ran 𝑆)
2422, 23sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ ran 𝑆)
2520, 24sselid 3993 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
2619, 25eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
27 ccatval2 14613 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
28273expa 1117 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
29 ssun2 4189 . . . . . . . . . 10 ran 𝑇 ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)
30 wrdfn 14563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ Word 𝐵𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
32 elfzouz 13700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
33 uznn0sub 12915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
3534, 3eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0))
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0))
378nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
3837ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
39 elfzolt2 13705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
41 elfzoelz 13696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4241zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
442nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
4544ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
468nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
4746ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
4843, 45, 47ltsubadd2d 11859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇) ↔ 𝑥 < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
4940, 48mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇))
50 elfzo2 13699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)) ↔ ((𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) < (♯‘𝑇)))
5136, 38, 49, 50syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
52 fnfvelrn 7100 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
5331, 51, 52syl2an2r 685 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ ran 𝑇)
5429, 53sselid 3993 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
5528, 54eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
5626, 55jaodan 959 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
5756ex 412 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
5817, 57sylbid 240 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
5958ralrimiv 3143 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
60 ffnfv 7139 . . . 4 ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇)))
611, 59, 60sylanbrc 583 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶(ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
6261frnd 6745 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) ⊆ (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
63 fzoss2 13724 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
6410, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
6564sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
66 fnfvelrn 7100 . . . . . . . 8 (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
671, 65, 66syl2an2r 685 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
6819, 67eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
6968ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))(𝑆𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
70 ffnfv 7139 . . . . 5 (𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))(𝑆𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
7122, 69, 70sylanbrc 583 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
7271frnd 6745 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑆 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
73 ccatval3 14614 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) = (𝑇𝑥))
74733expa 1117 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) = (𝑇𝑥))
75 elfzouz 13700 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘0))
762adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
77 uzaddcl 12944 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0))
7875, 76, 77syl2anr 597 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0))
79 nn0addcl 12559 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
802, 8, 79syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
8180nn0zd 12637 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
8281adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
83 elfzonn0 13744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
8483nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
852nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
87 addcom 11445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℂ) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) = ((♯‘𝑆) + 𝑥))
8884, 86, 87syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) = ((♯‘𝑆) + 𝑥))
8983nn0red 12586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9146ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
9244ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
93 elfzolt2 13705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇)) → 𝑥 < (♯‘𝑇))
9493adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑥 < (♯‘𝑇))
9590, 91, 92, 94ltadd2dd 11418 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆) + 𝑥) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
9688, 95eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
97 elfzo2 13699 . . . . . . . . 9 ((𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 + (♯‘𝑆)) < ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
9878, 82, 96, 97syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
99 fnfvelrn 7100 . . . . . . . 8 (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (𝑥 + (♯‘𝑆)) ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
1001, 98, 99syl2an2r 685 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑥 + (♯‘𝑆))) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
10174, 100eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (𝑇𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
102101ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))(𝑇𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇))
103 ffnfv 7139 . . . . 5 (𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇) ↔ (𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑇))(𝑇𝑥) ∈ ran (𝑆 ++ 𝑇)))
10431, 102, 103sylanbrc 583 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶ran (𝑆 ++ 𝑇))
105104frnd 6745 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran 𝑇 ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
10672, 105unssd 4202 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇) ⊆ ran (𝑆 ++ 𝑇))
10762, 106eqssd 4013 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ran (𝑆 ++ 𝑇) = (ran 𝑆 ∪ ran 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cun 3961  wss 3963   class class class wbr 5148  ran crn 5690   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   < clt 11293  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606
This theorem is referenced by:  s2rn  14999  s3rn  15000  s7rn  15001  cycpmco2f1  33127  cycpmco2rn  33128  unitprodclb  33397  mrsubvrs  35507
  Copyright terms: Public domain W3C validator