Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg47a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg47a 37739
 Description: TODO: fix comment. TODO: Use this above in place of (𝐹‘𝑃) = 𝑃 antecedents? (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg47a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))

Proof of Theorem cdlemg47a
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
3 cdlemg46.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 cdlemg46.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemg46.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5ltrn1o 37129 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
71, 2, 6syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
8 f1of 6611 . . . 4 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
97, 8syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺:𝐵𝐵)
10 fcoi1 6548 . . 3 (𝐺:𝐵𝐵 → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
119, 10syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
12 simp3 1132 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
1312coeq2d 5731 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐹) = (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
1412coeq1d 5730 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
15 fcoi2 6549 . . . 4 (𝐺:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
169, 15syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
1714, 16eqtrd 2860 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) = 𝐺)
1811, 13, 173eqtr4rd 2871 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   I cid 5457   ↾ cres 5555   ∘ ccom 5557  ⟶wf 6347  –1-1-onto→wf1o 6350  ‘cfv 6351  Basecbs 16475  HLchlt 36355  LHypclh 36989  LTrncltrn 37106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-map 8401  df-laut 36994  df-ldil 37109  df-ltrn 37110 This theorem is referenced by:  ltrncom  37743
 Copyright terms: Public domain W3C validator