Theorem ltrncom 38752

Description: Composition is commutative for translations. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrncom.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncom	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem ltrncom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl2 1191	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simpl3 1192	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		simpr 485	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		ltrncom.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		ltrncom.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8	5, 6, 7	cdlemg47a 38748	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl121anc 1374	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
10		simpll1 1211	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpll2 1212	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
12		simpll3 1213	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
13		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
14		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16	5, 6, 7, 15	cdlemg48 38751	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
17	10, 11, 12, 13, 14, 16	syl122anc 1378	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
18		simpll1 1211	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpll2 1212	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
20		simpll3 1213	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
21		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))
22	6, 7, 15	cdlemg44 38747	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
23	18, 19, 20, 21, 22	syl121anc 1374	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
24	17, 23	pm2.61dane 3032	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
25	9, 24	pm2.61dane 3032	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   I cid 5488   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173

This theorem is referenced by:  ltrnco4  38753  trljco2  38755  tgrpabl  38765  tendoplcom  38796  tendoicl  38810  cdlemk3  38847  cdlemk12  38864  cdlemk12u  38886  cdlemk46  38962  cdlemk49  38965  dvhvaddcomN  39110  cdlemn4  39212  cdlemn8  39218  dihopelvalcpre  39262