Theorem ltrncom 40705

Description: Composition is commutative for translations. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrncom.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncom	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem ltrncom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl2 1193	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simpl3 1194	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		ltrncom.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		ltrncom.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8	5, 6, 7	cdlemg47a 40701	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl121anc 1377	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
10		simpll1 1213	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpll2 1214	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
12		simpll3 1215	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
13		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))
15		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16	5, 6, 7, 15	cdlemg48 40704	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
17	10, 11, 12, 13, 14, 16	syl122anc 1381	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
18		simpll1 1213	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpll2 1214	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
20		simpll3 1215	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))
22	6, 7, 15	cdlemg44 40700	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
23	18, 19, 20, 21, 22	syl121anc 1377	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
24	17, 23	pm2.61dane 3012	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
25	9, 24	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   I cid 5525   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  HLchlt 39316  LHypclh 39951  LTrncltrn 40068  trLctrl 40125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-riotaBAD 38919

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-undef 8229  df-map 8778  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39142  df-ol 39144  df-oml 39145  df-covers 39232  df-ats 39233  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317  df-llines 39465  df-lplanes 39466  df-lvols 39467  df-lines 39468  df-psubsp 39470  df-pmap 39471  df-padd 39763  df-lhyp 39955  df-laut 39956  df-ldil 40071  df-ltrn 40072  df-trl 40126

This theorem is referenced by:  ltrnco4  40706  trljco2  40708  tgrpabl  40718  tendoplcom  40749  tendoicl  40763  cdlemk3  40800  cdlemk12  40817  cdlemk12u  40839  cdlemk46  40915  cdlemk49  40918  dvhvaddcomN  41063  cdlemn4  41165  cdlemn8  41171  dihopelvalcpre  41215