Theorem ltrncom 41362

Description: Composition is commutative for translations. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrncom.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncom	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem ltrncom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1205	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl2 1206	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simpl3 1207	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		simpr 488	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		ltrncom.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		ltrncom.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8	5, 6, 7	cdlemg47a 41358	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl121anc 1394	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
10		simpll1 1226	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpll2 1227	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
12		simpll3 1228	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
13		simplr 778	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
14		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))
15		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16	5, 6, 7, 15	cdlemg48 41361	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
17	10, 11, 12, 13, 14, 16	syl122anc 1398	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
18		simpll1 1226	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simpll2 1227	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
20		simpll3 1228	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
21		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))
22	6, 7, 15	cdlemg44 41357	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
23	18, 19, 20, 21, 22	syl121anc 1394	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
24	17, 23	pm2.61dane 3044	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
25	9, 24	pm2.61dane 3044	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   I cid 5541   ↾ cres 5649   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  HLchlt 39974  LHypclh 40608  LTrncltrn 40725  trLctrl 40782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-riotaBAD 39577

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-undef 8253  df-map 8810  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-llines 40122  df-lplanes 40123  df-lvols 40124  df-lines 40125  df-psubsp 40127  df-pmap 40128  df-padd 40420  df-lhyp 40612  df-laut 40613  df-ldil 40728  df-ltrn 40729  df-trl 40783

This theorem is referenced by:  ltrnco4  41363  trljco2  41365  tgrpabl  41375  tendoplcom  41406  tendoicl  41420  cdlemk3  41457  cdlemk12  41474  cdlemk12u  41496  cdlemk46  41572  cdlemk49  41575  dvhvaddcomN  41720  cdlemn4  41822  cdlemn8  41828  dihopelvalcpre  41872