Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncom 37741
 Description: Composition is commutative for translations. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncom.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrncom.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncom (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))

Proof of Theorem ltrncom
StepHypRef Expression
1 simpl1 1185 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl2 1186 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹𝑇)
3 simpl3 1187 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺𝑇)
4 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
5 eqid 2826 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 ltrncom.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 ltrncom.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
85, 6, 7cdlemg47a 37737 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
91, 2, 3, 4, 8syl121anc 1369 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
10 simpll1 1206 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpll2 1207 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹𝑇)
12 simpll3 1208 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐺𝑇)
13 simplr 765 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
14 simpr 485 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))
15 eqid 2826 . . . . 5 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
165, 6, 7, 15cdlemg48 37740 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
1710, 11, 12, 13, 14, 16syl122anc 1373 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
18 simpll1 1206 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simpll2 1207 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐹𝑇)
20 simpll3 1208 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → 𝐺𝑇)
21 simpr 485 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺))
226, 7, 15cdlemg44 37736 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
2318, 19, 20, 21, 22syl121anc 1369 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐺)) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
2417, 23pm2.61dane 3109 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
259, 24pm2.61dane 3109 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021   I cid 5458   ↾ cres 5556   ∘ ccom 5558  ‘cfv 6352  Basecbs 16473  HLchlt 36353  LHypclh 36987  LTrncltrn 37104  trLctrl 37161 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-riotaBAD 35956 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-undef 7930  df-map 8398  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36179  df-ol 36181  df-oml 36182  df-covers 36269  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325  df-hlat 36354  df-llines 36501  df-lplanes 36502  df-lvols 36503  df-lines 36504  df-psubsp 36506  df-pmap 36507  df-padd 36799  df-lhyp 36991  df-laut 36992  df-ldil 37107  df-ltrn 37108  df-trl 37162 This theorem is referenced by:  ltrnco4  37742  trljco2  37744  tgrpabl  37754  tendoplcom  37785  tendoicl  37799  cdlemk3  37836  cdlemk12  37853  cdlemk12u  37875  cdlemk46  37951  cdlemk49  37954  dvhvaddcomN  38099  cdlemn4  38201  cdlemn8  38207  dihopelvalcpre  38251
 Copyright terms: Public domain W3C validator