Theorem cdlemg44 38747

Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, fifth line of third paragraph on p. 117: "and hence fg = gf." (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg44.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg44.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg44.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg44	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem cdlemg44

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemg44.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexnle 38020	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
5	4	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
6		simp11 1202	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simp12l 1285	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹 ∈ 𝑇)
8		simp12r 1286	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → 𝐺 ∈ 𝑇)
9		cdlemg44.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10	3, 9	ltrnco 38733	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
11	6, 7, 8, 10	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
12	3, 9	ltrnco 38733	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
13	6, 8, 7, 12	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
14		3simpc 1149	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
15		simp13 1204	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))
16		cdlemg44.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17	3, 9, 16, 1, 2	cdlemg44b 38746	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑝)) = (𝐺‘(𝐹‘𝑝)))
18	6, 7, 8, 14, 15, 17	syl131anc 1382	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐺‘𝑝)) = (𝐺‘(𝐹‘𝑝)))
19		simp12 1203	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
20		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
21	1, 2, 3, 9	ltrncoval 38159	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑝) = (𝐹‘(𝐺‘𝑝)))
22	6, 19, 20, 21	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑝) = (𝐹‘(𝐺‘𝑝)))
23	1, 2, 3, 9	ltrncoval 38159	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑝) = (𝐺‘(𝐹‘𝑝)))
24	6, 8, 7, 20, 23	syl121anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑝) = (𝐺‘(𝐹‘𝑝)))
25	18, 22, 24	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑝) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑝))
26	1, 2, 3, 9	cdlemd 38221	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑝) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑝)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
27	6, 11, 13, 14, 25, 26	syl311anc 1383	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
28	27	rexlimdv3a 3215	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹)))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  lecple 16969  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173

This theorem is referenced by:  cdlemg47  38750  ltrncom  38752