Theorem cdlemg44 37871

Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, fifth line of third paragraph on p. 117: "and hence fg = gf." (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg44.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg44.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg44.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg44	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem cdlemg44

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemg44.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexnle 37144	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
5	4	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
6		simp11 1199	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simp12l 1282	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹 ∈ 𝑇)
8		simp12r 1283	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → 𝐺 ∈ 𝑇)
9		cdlemg44.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10	3, 9	ltrnco 37857	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
11	6, 7, 8, 10	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
12	3, 9	ltrnco 37857	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
13	6, 8, 7, 12	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
14		3simpc 1146	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
15		simp13 1201	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))
16		cdlemg44.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17	3, 9, 16, 1, 2	cdlemg44b 37870	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑝)) = (𝐺‘(𝐹‘𝑝)))
18	6, 7, 8, 14, 15, 17	syl131anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐺‘𝑝)) = (𝐺‘(𝐹‘𝑝)))
19		simp12 1200	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
20		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
21	1, 2, 3, 9	ltrncoval 37283	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑝) = (𝐹‘(𝐺‘𝑝)))
22	6, 19, 20, 21	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑝) = (𝐹‘(𝐺‘𝑝)))
23	1, 2, 3, 9	ltrncoval 37283	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑝) = (𝐺‘(𝐹‘𝑝)))
24	6, 8, 7, 20, 23	syl121anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑝) = (𝐺‘(𝐹‘𝑝)))
25	18, 22, 24	3eqtr4d 2868	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑝) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑝))
26	1, 2, 3, 9	cdlemd 37345	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑝) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑝)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
27	6, 11, 13, 14, 25, 26	syl311anc 1380	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
28	27	rexlimdv3a 3288	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹)))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141   class class class wbr 5068   ∘ ccom 5561  ‘cfv 6357  lecple 16574  Atomscatm 36401  HLchlt 36488  LHypclh 37122  LTrncltrn 37239  trLctrl 37296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-undef 7941  df-map 8410  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297

This theorem is referenced by:  cdlemg47  37874  ltrncom  37876