Theorem ltrn1o 41447

Description: A lattice translation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrn1o	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶1-1onto𝐵)

Proof of Theorem ltrn1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ltrn1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ltrn1o.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrnlaut 41446	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6		ltrn1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7	6, 3	laut1o 41408	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵⟶1-1onto𝐵)
8	1, 5, 7	syl2anc 596	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶1-1onto𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  LHypclh 41307  LAutclaut 41308  LTrncltrn 41424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428

This theorem is used by:  ltrncnvnid  41450  ltrncoidN  41451  ltrnid  41458  ltrncnvatb  41461  ltrncnvel  41465  ltrncoval  41468  ltrncnv  41469  ltrneq2  41471  trlcnv  41488  ltrniotacnvval  41905  cdlemg17h  41991  trlcoabs2N  42045  trlcoat  42046  trlcone  42051  cdlemg47a  42057  cdlemg46  42058  cdlemg47  42059  trljco  42063  tgrpgrplem  42072  tendo0pl  42114  tendoipl  42120  cdlemi2  42142  cdlemk2  42155  cdlemk4  42157  cdlemk8  42161  cdlemkid2  42247  cdlemk45  42270  cdlemk53b  42279  cdlemk53  42280  cdlemk55a  42282  tendocnv  42344  dvhgrp  42430  dvhopN  42439  cdlemn3  42520  cdlemn8  42527  cdlemn9  42528  dihordlem7b  42538  dihopelvalcpre  42571  dihmeetlem1N  42613  dihglblem5apreN  42614