Theorem ltrn1o 36199

Description: A lattice translation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrn1o	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem ltrn1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 785	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ltrn1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2825	. . 3 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ltrn1o.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrnlaut 36198	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6		ltrn1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7	6, 3	laut1o 36160	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
8	1, 5, 7	syl2anc 581	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  Basecbs 16222  LHypclh 36059  LAutclaut 36060  LTrncltrn 36176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-map 8124  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180

This theorem is referenced by:  ltrncnvnid  36202  ltrncoidN  36203  ltrnid  36210  ltrncnvatb  36213  ltrncnvel  36217  ltrncoval  36220  ltrncnv  36221  ltrneq2  36223  trlcnv  36240  ltrniotacnvval  36657  cdlemg17h  36743  trlcoabs2N  36797  trlcoat  36798  trlcone  36803  cdlemg47a  36809  cdlemg46  36810  cdlemg47  36811  trljco  36815  tgrpgrplem  36824  tendo0pl  36866  tendoipl  36872  cdlemi2  36894  cdlemk2  36907  cdlemk4  36909  cdlemk8  36913  cdlemkid2  36999  cdlemk45  37022  cdlemk53b  37031  cdlemk53  37032  cdlemk55a  37034  tendocnv  37096  dvhgrp  37182  dvhopN  37191  cdlemn3  37272  cdlemn8  37279  cdlemn9  37280  dihordlem7b  37290  dihopelvalcpre  37323  dihmeetlem1N  37365  dihglblem5apreN  37366