Theorem ltrn1o 39823

Description: A lattice translation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrn1o	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem ltrn1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ltrn1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2726	. . 3 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ltrn1o.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrnlaut 39822	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6		ltrn1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7	6, 3	laut1o 39784	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
8	1, 5, 7	syl2anc 582	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  –1-1-onto→wf1o 6553  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  LHypclh 39683  LAutclaut 39684  LTrncltrn 39800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8857  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804

This theorem is referenced by:  ltrncnvnid  39826  ltrncoidN  39827  ltrnid  39834  ltrncnvatb  39837  ltrncnvel  39841  ltrncoval  39844  ltrncnv  39845  ltrneq2  39847  trlcnv  39864  ltrniotacnvval  40281  cdlemg17h  40367  trlcoabs2N  40421  trlcoat  40422  trlcone  40427  cdlemg47a  40433  cdlemg46  40434  cdlemg47  40435  trljco  40439  tgrpgrplem  40448  tendo0pl  40490  tendoipl  40496  cdlemi2  40518  cdlemk2  40531  cdlemk4  40533  cdlemk8  40537  cdlemkid2  40623  cdlemk45  40646  cdlemk53b  40655  cdlemk53  40656  cdlemk55a  40658  tendocnv  40720  dvhgrp  40806  dvhopN  40815  cdlemn3  40896  cdlemn8  40903  cdlemn9  40904  dihordlem7b  40914  dihopelvalcpre  40947  dihmeetlem1N  40989  dihglblem5apreN  40990