Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrn1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrn1o 38995
Description: A lattice translation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ltrn1o.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrn1o.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrn1o (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)

Proof of Theorem ltrn1o
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
2 ltrn1o.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2733 . . 3 (LAutβ€˜πΎ) = (LAutβ€˜πΎ)
4 ltrn1o.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
52, 3, 4ltrnlaut 38994 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (LAutβ€˜πΎ))
6 ltrn1o.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
76, 3laut1o 38956 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAutβ€˜πΎ)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
81, 5, 7syl2anc 585 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  LHypclh 38855  LAutclaut 38856  LTrncltrn 38972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976
This theorem is referenced by:  ltrncnvnid  38998  ltrncoidN  38999  ltrnid  39006  ltrncnvatb  39009  ltrncnvel  39013  ltrncoval  39016  ltrncnv  39017  ltrneq2  39019  trlcnv  39036  ltrniotacnvval  39453  cdlemg17h  39539  trlcoabs2N  39593  trlcoat  39594  trlcone  39599  cdlemg47a  39605  cdlemg46  39606  cdlemg47  39607  trljco  39611  tgrpgrplem  39620  tendo0pl  39662  tendoipl  39668  cdlemi2  39690  cdlemk2  39703  cdlemk4  39705  cdlemk8  39709  cdlemkid2  39795  cdlemk45  39818  cdlemk53b  39827  cdlemk53  39828  cdlemk55a  39830  tendocnv  39892  dvhgrp  39978  dvhopN  39987  cdlemn3  40068  cdlemn8  40075  cdlemn9  40076  dihordlem7b  40086  dihopelvalcpre  40119  dihmeetlem1N  40161  dihglblem5apreN  40162
  Copyright terms: Public domain W3C validator