Theorem ltrn1o 40106

Description: A lattice translation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrn1o	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem ltrn1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ltrn1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ltrn1o.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrnlaut 40105	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6		ltrn1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7	6, 3	laut1o 40067	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
8	1, 5, 7	syl2anc 584	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  Basecbs 17244  LHypclh 39966  LAutclaut 39967  LTrncltrn 40083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8866  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087

This theorem is referenced by:  ltrncnvnid  40109  ltrncoidN  40110  ltrnid  40117  ltrncnvatb  40120  ltrncnvel  40124  ltrncoval  40127  ltrncnv  40128  ltrneq2  40130  trlcnv  40147  ltrniotacnvval  40564  cdlemg17h  40650  trlcoabs2N  40704  trlcoat  40705  trlcone  40710  cdlemg47a  40716  cdlemg46  40717  cdlemg47  40718  trljco  40722  tgrpgrplem  40731  tendo0pl  40773  tendoipl  40779  cdlemi2  40801  cdlemk2  40814  cdlemk4  40816  cdlemk8  40820  cdlemkid2  40906  cdlemk45  40929  cdlemk53b  40938  cdlemk53  40939  cdlemk55a  40941  tendocnv  41003  dvhgrp  41089  dvhopN  41098  cdlemn3  41179  cdlemn8  41186  cdlemn9  41187  dihordlem7b  41197  dihopelvalcpre  41230  dihmeetlem1N  41272  dihglblem5apreN  41273