Theorem ltrn1o 40616

Description: A lattice translation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrn1o	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem ltrn1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 772	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ltrn1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ltrn1o.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrnlaut 40615	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6		ltrn1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7	6, 3	laut1o 40577	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
8	1, 5, 7	syl2anc 590	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  LHypclh 40476  LAutclaut 40477  LTrncltrn 40593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8765  df-laut 40481  df-ldil 40596  df-ltrn 40597

This theorem is referenced by:  ltrncnvnid  40619  ltrncoidN  40620  ltrnid  40627  ltrncnvatb  40630  ltrncnvel  40634  ltrncoval  40637  ltrncnv  40638  ltrneq2  40640  trlcnv  40657  ltrniotacnvval  41074  cdlemg17h  41160  trlcoabs2N  41214  trlcoat  41215  trlcone  41220  cdlemg47a  41226  cdlemg46  41227  cdlemg47  41228  trljco  41232  tgrpgrplem  41241  tendo0pl  41283  tendoipl  41289  cdlemi2  41311  cdlemk2  41324  cdlemk4  41326  cdlemk8  41330  cdlemkid2  41416  cdlemk45  41439  cdlemk53b  41448  cdlemk53  41449  cdlemk55a  41451  tendocnv  41513  dvhgrp  41599  dvhopN  41608  cdlemn3  41689  cdlemn8  41696  cdlemn9  41697  dihordlem7b  41707  dihopelvalcpre  41740  dihmeetlem1N  41782  dihglblem5apreN  41783