Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg46 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg46 40119
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg46.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg46 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑅,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐡(β„Ž)

Proof of Theorem cdlemg46
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž ∈ 𝑇)
4 simp32 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
5 cdlemg46.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2726 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemg46.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemg46.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemg46.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
105, 6, 7, 8, 9trlnidat 39557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
112, 3, 4, 10syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
1211adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
13 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
14 simp31 1206 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
155, 6, 7, 8, 9trlnidat 39557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
162, 13, 14, 15syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
1716adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
18 simpl33 1253 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
19 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
207, 8ltrnco 40103 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
212, 3, 13, 20syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
227, 8ltrncnv 39530 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
232, 13, 22syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
24 eqid 2726 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
25 eqid 2726 . . . . . . . 8 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
2624, 25, 7, 8, 9trlco 40111 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)))
272, 21, 23, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)))
28 coass 6258 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹) = (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹))
295, 7, 8ltrn1o 39508 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
302, 13, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
31 f1ococnv2 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
3332coeq2d 5856 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹)) = (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
345, 7, 8ltrn1o 39508 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡)
352, 3, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡)
36 f1of 6827 . . . . . . . . . 10 (β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ β„Ž:𝐡⟢𝐡)
37 fcoi1 6759 . . . . . . . . . 10 (β„Ž:𝐡⟢𝐡 β†’ (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = β„Ž)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = β„Ž)
3933, 38eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹)) = β„Ž)
4028, 39eqtrid 2778 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹) = β„Ž)
4140fveq2d 6889 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹)) = (π‘…β€˜β„Ž))
427, 8, 9trlcnv 39549 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
432, 13, 42syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
4443oveq2d 7421 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)) = ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4527, 41, 443brtr3d 5172 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4645adantr 480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4724, 25, 6hlatlej2 38759 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
481, 19, 17, 47syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
491hllatd 38747 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
505, 6atbase 38672 . . . . . 6 ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡)
5112, 50syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡)
525, 6atbase 38672 . . . . . 6 ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
5317, 52syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
545, 25, 6hlatjcl 38750 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
551, 19, 17, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
565, 24, 25latjle12 18415 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))) ↔ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))))
5749, 51, 53, 55, 56syl13anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))) ↔ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))))
5846, 48, 57mpbi2and 709 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
5924, 25, 62atjlej 38863 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
601, 12, 17, 18, 19, 17, 58, 59syl133anc 1390 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
61 nelne2 3034 . . . 4 (((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)))
6261necomd 2990 . . 3 (((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
6316, 62sylan 579 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
6460, 63pm2.61dan 810 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141   I cid 5566  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  cdlemg47  40120
  Copyright terms: Public domain W3C validator