Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg46 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg46 38024
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg46.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg46 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐻   ,𝐾   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐵()

Proof of Theorem cdlemg46
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑇)
4 simp32 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
5 cdlemg46.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 eqid 2801 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemg46.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemg46.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemg46.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9trlnidat 37462 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅) ∈ (Atoms‘𝐾))
112, 3, 4, 10syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅) ∈ (Atoms‘𝐾))
1211adantr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅) ∈ (Atoms‘𝐾))
13 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
14 simp31 1206 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
155, 6, 7, 8, 9trlnidat 37462 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
162, 13, 14, 15syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
1716adantr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
18 simpl33 1253 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))
19 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
207, 8ltrnco 38008 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇𝐹𝑇) → (𝐹) ∈ 𝑇)
212, 3, 13, 20syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹) ∈ 𝑇)
227, 8ltrncnv 37435 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
232, 13, 22syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
24 eqid 2801 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
25 eqid 2801 . . . . . . . 8 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
2624, 25, 7, 8, 9trlco 38016 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) → (𝑅‘((𝐹) ∘ 𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
272, 21, 23, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘((𝐹) ∘ 𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
28 coass 6089 . . . . . . . 8 ((𝐹) ∘ 𝐹) = ( ∘ (𝐹𝐹))
295, 7, 8ltrn1o 37413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
302, 13, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
31 f1ococnv2 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3332coeq2d 5701 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ (𝐹𝐹)) = ( ∘ ( I ↾ 𝐵)))
345, 7, 8ltrn1o 37413 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇) → :𝐵1-1-onto𝐵)
352, 3, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → :𝐵1-1-onto𝐵)
36 f1of 6594 . . . . . . . . . 10 (:𝐵1-1-onto𝐵:𝐵𝐵)
37 fcoi1 6530 . . . . . . . . . 10 (:𝐵𝐵 → ( ∘ ( I ↾ 𝐵)) = )
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ ( I ↾ 𝐵)) = )
3933, 38eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ( ∘ (𝐹𝐹)) = )
4028, 39syl5eq 2848 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐹) ∘ 𝐹) = )
4140fveq2d 6653 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘((𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝑅))
427, 8, 9trlcnv 37454 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
432, 13, 42syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
4443oveq2d 7155 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = ((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
4527, 41, 443brtr3d 5064 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
4645adantr 484 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
4724, 25, 6hlatlej2 36665 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
481, 19, 17, 47syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
491hllatd 36653 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
505, 6atbase 36578 . . . . . 6 ((𝑅) ∈ (Atoms‘𝐾) → (𝑅) ∈ 𝐵)
5112, 50syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅) ∈ 𝐵)
525, 6atbase 36578 . . . . . 6 ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
5317, 52syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
545, 25, 6hlatjcl 36656 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
551, 19, 17, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
565, 24, 25latjle12 17667 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)) → (((𝑅)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹))) ↔ ((𝑅)(join‘𝐾)(𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹))))
5749, 51, 53, 55, 56syl13anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑅)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹))) ↔ ((𝑅)(join‘𝐾)(𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹))))
5846, 48, 57mpbi2and 711 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅)(join‘𝐾)(𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))
5924, 25, 62atjlej 36768 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹)) ∧ ((𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ((𝑅)(join‘𝐾)(𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅‘(𝐹))(join‘𝐾)(𝑅𝐹)))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
601, 12, 17, 18, 19, 17, 58, 59syl133anc 1390 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
61 nelne2 3087 . . . 4 (((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹)))
6261necomd 3045 . . 3 (((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
6316, 62sylan 583 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) ∧ ¬ (𝑅‘(𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
6460, 63pm2.61dan 812 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐹)) ≠ (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033   I cid 5427  ccnv 5522  cres 5525  ccom 5527  wf 6324  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  lecple 16567  joincjn 17549  Latclat 17650  Atomscatm 36552  HLchlt 36639  LHypclh 37273  LTrncltrn 37390  trLctrl 37447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36242
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448
This theorem is referenced by:  cdlemg47  38025
  Copyright terms: Public domain W3C validator