Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg46 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg46 39594
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg46.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg46 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑅,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐡(β„Ž)
Proof of Theorem cdlemg46
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1224 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp2r 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž ∈ 𝑇)
4 simp32 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
5 cdlemg46.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2732 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemg46.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemg46.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemg46.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
105, 6, 7, 8, 9trlnidat 39032 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
112, 3, 4, 10syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
1211adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
13 simp2l 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
14 simp31 1209 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
155, 6, 7, 8, 9trlnidat 39032 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
162, 13, 14, 15syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
1716adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
18 simpl33 1256 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
19 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
207, 8ltrnco 39578 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
212, 3, 13, 20syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
227, 8ltrncnv 39005 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
232, 13, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
24 eqid 2732 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
25 eqid 2732 . . . . . . . 8 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
2624, 25, 7, 8, 9trlco 39586 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)))
272, 21, 23, 26syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)))
28 coass 6261 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹) = (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹))
295, 7, 8ltrn1o 38983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
302, 13, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
31 f1ococnv2 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
3332coeq2d 5860 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹)) = (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
345, 7, 8ltrn1o 38983 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡)
352, 3, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡)
36 f1of 6830 . . . . . . . . . 10 (β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ β„Ž:𝐡⟢𝐡)
37 fcoi1 6762 . . . . . . . . . 10 (β„Ž:𝐡⟢𝐡 β†’ (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = β„Ž)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = β„Ž)
3933, 38eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹)) = β„Ž)
4028, 39eqtrid 2784 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹) = β„Ž)
4140fveq2d 6892 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹)) = (π‘…β€˜β„Ž))
427, 8, 9trlcnv 39024 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
432, 13, 42syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
4443oveq2d 7421 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)) = ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4527, 41, 443brtr3d 5178 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4645adantr 481 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4724, 25, 6hlatlej2 38234 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
481, 19, 17, 47syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
491hllatd 38222 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
505, 6atbase 38147 . . . . . 6 ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡)
5112, 50syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡)
525, 6atbase 38147 . . . . . 6 ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
5317, 52syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
545, 25, 6hlatjcl 38225 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
551, 19, 17, 54syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
565, 24, 25latjle12 18399 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))) ↔ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))))
5749, 51, 53, 55, 56syl13anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))) ↔ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))))
5846, 48, 57mpbi2and 710 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
5924, 25, 62atjlej 38338 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
601, 12, 17, 18, 19, 17, 58, 59syl133anc 1393 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
61 nelne2 3040 . . . 4 (((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)))
6261necomd 2996 . . 3 (((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
6316, 62sylan 580 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
6460, 63pm2.61dan 811 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147   I cid 5572  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018
This theorem is referenced by:  cdlemg47  39595
  Copyright terms: Public domain W3C validator