Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg46 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg46 39227
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg46.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg46 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑅,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐡(β„Ž)

Proof of Theorem cdlemg46
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp2r 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž ∈ 𝑇)
4 simp32 1211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
5 cdlemg46.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemg46.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemg46.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemg46.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
105, 6, 7, 8, 9trlnidat 38665 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
112, 3, 4, 10syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
1211adantr 482 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
13 simp2l 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
14 simp31 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
155, 6, 7, 8, 9trlnidat 38665 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
162, 13, 14, 15syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
1716adantr 482 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
18 simpl33 1257 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
19 simpr 486 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
207, 8ltrnco 39211 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
212, 3, 13, 20syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
227, 8ltrncnv 38638 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
232, 13, 22syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
24 eqid 2737 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
25 eqid 2737 . . . . . . . 8 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
2624, 25, 7, 8, 9trlco 39219 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)))
272, 21, 23, 26syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)))
28 coass 6222 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹) = (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹))
295, 7, 8ltrn1o 38616 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
302, 13, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
31 f1ococnv2 6816 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
3332coeq2d 5823 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹)) = (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
345, 7, 8ltrn1o 38616 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡)
352, 3, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡)
36 f1of 6789 . . . . . . . . . 10 (β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ β„Ž:𝐡⟢𝐡)
37 fcoi1 6721 . . . . . . . . . 10 (β„Ž:𝐡⟢𝐡 β†’ (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = β„Ž)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = β„Ž)
3933, 38eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹)) = β„Ž)
4028, 39eqtrid 2789 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹) = β„Ž)
4140fveq2d 6851 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹)) = (π‘…β€˜β„Ž))
427, 8, 9trlcnv 38657 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
432, 13, 42syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
4443oveq2d 7378 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)) = ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4527, 41, 443brtr3d 5141 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4645adantr 482 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4724, 25, 6hlatlej2 37867 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
481, 19, 17, 47syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
491hllatd 37855 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
505, 6atbase 37780 . . . . . 6 ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡)
5112, 50syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡)
525, 6atbase 37780 . . . . . 6 ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
5317, 52syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
545, 25, 6hlatjcl 37858 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
551, 19, 17, 54syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
565, 24, 25latjle12 18346 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))) ↔ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))))
5749, 51, 53, 55, 56syl13anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))) ↔ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))))
5846, 48, 57mpbi2and 711 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
5924, 25, 62atjlej 37971 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
601, 12, 17, 18, 19, 17, 58, 59syl133anc 1394 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
61 nelne2 3043 . . . 4 (((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)))
6261necomd 3000 . . 3 (((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
6316, 62sylan 581 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
6460, 63pm2.61dan 812 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110   I cid 5535  β—‘ccnv 5637   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  Latclat 18327  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476  LTrncltrn 38593  trLctrl 38650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-undef 8209  df-map 8774  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651
This theorem is referenced by:  cdlemg47  39228
  Copyright terms: Public domain W3C validator