Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg46 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg46 40248
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemg46.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg46.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg46.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg46 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑅,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐡(β„Ž)
Proof of Theorem cdlemg46
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž ∈ 𝑇)
4 simp32 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
5 cdlemg46.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemg46.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemg46.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemg46.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
105, 6, 7, 8, 9trlnidat 39686 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
112, 3, 4, 10syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
1211adantr 479 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
13 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
14 simp31 1206 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
155, 6, 7, 8, 9trlnidat 39686 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
162, 13, 14, 15syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
1716adantr 479 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
18 simpl33 1253 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
19 simpr 483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
207, 8ltrnco 40232 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
212, 3, 13, 20syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
227, 8ltrncnv 39659 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
232, 13, 22syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
24 eqid 2728 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
25 eqid 2728 . . . . . . . 8 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
2624, 25, 7, 8, 9trlco 40240 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β„Ž ∘ 𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)))
272, 21, 23, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)))
28 coass 6274 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹) = (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹))
295, 7, 8ltrn1o 39637 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
302, 13, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
31 f1ococnv2 6871 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
3332coeq2d 5869 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹)) = (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
345, 7, 8ltrn1o 39637 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡)
352, 3, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡)
36 f1of 6844 . . . . . . . . . 10 (β„Ž:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ β„Ž:𝐡⟢𝐡)
37 fcoi1 6776 . . . . . . . . . 10 (β„Ž:𝐡⟢𝐡 β†’ (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = β„Ž)
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = β„Ž)
3933, 38eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (β„Ž ∘ (𝐹 ∘ ◑𝐹)) = β„Ž)
4028, 39eqtrid 2780 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹) = β„Ž)
4140fveq2d 6906 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜((β„Ž ∘ 𝐹) ∘ ◑𝐹)) = (π‘…β€˜β„Ž))
427, 8, 9trlcnv 39678 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
432, 13, 42syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
4443oveq2d 7442 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜β—‘πΉ)) = ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4527, 41, 443brtr3d 5183 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4645adantr 479 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
4724, 25, 6hlatlej2 38888 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
481, 19, 17, 47syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
491hllatd 38876 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
505, 6atbase 38801 . . . . . 6 ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡)
5112, 50syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡)
525, 6atbase 38801 . . . . . 6 ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
5317, 52syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
545, 25, 6hlatjcl 38879 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
551, 19, 17, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)
565, 24, 25latjle12 18451 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))) ↔ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))))
5749, 51, 53, 55, 56syl13anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((π‘…β€˜β„Ž)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))) ↔ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))))
5846, 48, 57mpbi2and 710 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))
5924, 25, 62atjlej 38992 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜β„Ž) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ ((π‘…β€˜β„Ž)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
601, 12, 17, 18, 19, 17, 58, 59syl133anc 1390 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
61 nelne2 3037 . . . 4 (((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)))
6261necomd 2993 . . 3 (((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
6316, 62sylan 578 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
6460, 63pm2.61dan 811 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ β„Ž β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜β„Ž) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜(β„Ž ∘ 𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152   I cid 5579  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  lecple 17249  joincjn 18312  Latclat 18432  Atomscatm 38775  HLchlt 38862  LHypclh 39497  LTrncltrn 39614  trLctrl 39671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8287  df-map 8855  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672
This theorem is referenced by:  cdlemg47  40249
  Copyright terms: Public domain W3C validator