Theorem chpmat1d 21985

Description: The characteristic polynomial of a matrix with dimension 1. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmat1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmat1d.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmat1d.z	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpmat1d.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpmat1d	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8834	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
2		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
5	4	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
6		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
7		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
8		chpmat1d.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9		chpmat1d.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		chpmat1d.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		chpmat1d.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (-g‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃)) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
19	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	chpmatval 21980	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))))
20	5, 6, 7, 19	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))))
21	11	ply1crng 21369	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
22	21	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
23		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
24		crngring 19795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
25	11	ply1ring 21419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
27	26	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
28	12	matring 21592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring)
29	5, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring)
30		ringgrp 19788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Grp)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Grp)
32	12	matlmod 21578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ LMod)
33	5, 27, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ LMod)
34	24	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
35		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
36		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
37	15, 35, 36	vr1cl 21388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
38	34, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
39	35	ply1crng 21369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Poly1‘𝑅) ∈ CRing)
40	39	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Poly1‘𝑅) ∈ CRing)
41	11	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
42	41	matsca2 21569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ CRing) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)))
43	5, 40, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)))
44	43	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Poly1‘𝑅))
45	44	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))) = (Base‘(Poly1‘𝑅)))
46	38, 45	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))))
47		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))
48	47, 18	ringidcl 19807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring → (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
49	29, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
50		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))
51		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))) = (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)))
52	47, 50, 16, 51	lmodvscl 20140	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 Mat 𝑃) ∈ LMod ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∧ (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
53	33, 46, 49, 52	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
54	17, 9, 10, 11, 12	mat2pmatbas 21875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
55	5, 34, 7, 54	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
56	47, 14	grpsubcl 18655	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 Mat 𝑃) ∈ Grp ∧ ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∧ ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
57	31, 53, 55, 56	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
58	13, 12, 47	m1detdiag 21746	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) = (𝐼(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼))
59	22, 23, 57, 58	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) = (𝐼(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼))
60		chpmat1d.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
61	60	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (var1‘𝑅) = 𝑋
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (var1‘𝑅) = 𝑋)
63	62	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) = (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))))
64	63	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) = ((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)))
65	64	oveqd 7292	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼))
66		chpmat1d.z	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
67		chpmat1d.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
68	8, 11, 9, 10, 60, 66, 67, 12, 17	chpmat1dlem 21984	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
69	24, 68	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
70	65, 69	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
71	59, 70	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
72	20, 71	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  LModclmod 20123  algSccascl 21059  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348   Mat cmat 21554   maDet cmdat 21733   matToPolyMat cmat2pmat 21853   CharPlyMat cchpmat 21975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-splice 14463  df-reverse 14472  df-s2 14561  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-efmnd 18508  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-symg 18975  df-pmtr 19050  df-psgn 19099  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-mamu 21533  df-mat 21555  df-mdet 21734  df-mat2pmat 21856  df-chpmat 21976

This theorem is referenced by: (None)