MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat1d 21444
Description: The characteristic polynomial of a matrix with dimension 1. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmat1d.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpmat1d.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpmat1d.z = (-g𝑃)
chpmat1d.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
chpmat1d ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1d
StepHypRef Expression
1 snfi 8581 . . . . . 6 {𝐼} ∈ Fin
2 eleq1 2880 . . . . . 6 (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
31, 2mpbiri 261 . . . . 5 (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
43adantr 484 . . . 4 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
543ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
6 simp1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
7 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
8 chpmat1d.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9 chpmat1d.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10 chpmat1d.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
11 chpmat1d.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 eqid 2801 . . . 4 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
13 eqid 2801 . . . 4 (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
14 eqid 2801 . . . 4 (-g‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
15 eqid 2801 . . . 4 (var1𝑅) = (var1𝑅)
16 eqid 2801 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃)) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
17 eqid 2801 . . . 4 (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
18 eqid 2801 . . . 4 (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
198, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18chpmatval 21439 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))))
205, 6, 7, 19syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))))
2111ply1crng 20830 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
22213ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
23 simp2 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉))
24 crngring 19305 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2511ply1ring 20880 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
27263ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
2812matring 21051 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring)
295, 27, 28syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring)
30 ringgrp 19298 . . . . . 6 ((𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Grp)
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Grp)
3212matlmod 21037 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ LMod)
335, 27, 32syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ LMod)
34243ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
35 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
36 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
3715, 35, 36vr1cl 20849 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
3834, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
3935ply1crng 20830 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → (Poly1𝑅) ∈ CRing)
40393ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Poly1𝑅) ∈ CRing)
4111oveq2i 7150 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
4241matsca2 21028 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1𝑅) ∈ CRing) → (Poly1𝑅) = (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)))
435, 40, 42syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Poly1𝑅) = (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)))
4443eqcomd 2807 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Poly1𝑅))
4544fveq2d 6653 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))) = (Base‘(Poly1𝑅)))
4638, 45eleqtrrd 2896 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))))
47 eqid 2801 . . . . . . . 8 (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))
4847, 18ringidcl 19317 . . . . . . 7 ((𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring → (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
4929, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
50 eqid 2801 . . . . . . 7 (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))
51 eqid 2801 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))) = (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)))
5247, 50, 16, 51lmodvscl 19647 . . . . . 6 (((𝑁 Mat 𝑃) ∈ LMod ∧ (var1𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∧ (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
5333, 46, 49, 52syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
5417, 9, 10, 11, 12mat2pmatbas 21334 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
555, 34, 7, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
5647, 14grpsubcl 18174 . . . . 5 (((𝑁 Mat 𝑃) ∈ Grp ∧ ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∧ ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
5731, 53, 55, 56syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
5813, 12, 47m1detdiag 21205 . . . 4 ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) = (𝐼(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼))
5922, 23, 57, 58syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) = (𝐼(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼))
60 chpmat1d.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (var1𝑅)
6160eqcomi 2810 . . . . . . . 8 (var1𝑅) = 𝑋
6261a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (var1𝑅) = 𝑋)
6362oveq1d 7154 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) = (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))))
6463oveq1d 7154 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) = ((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)))
6564oveqd 7156 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼))
66 chpmat1d.z . . . . . 6 = (-g𝑃)
67 chpmat1d.s . . . . . 6 𝑆 = (algSc‘𝑃)
688, 11, 9, 10, 60, 66, 67, 12, 17chpmat1dlem 21443 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
6924, 68syl3an1 1160 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
7065, 69eqtrd 2836 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
7159, 70eqtrd 2836 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
7220, 71eqtrd 2836 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  {csn 4528  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  Grpcgrp 18098  -gcsg 18100  1rcur 19247  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294  LModclmod 19630  algSccascl 20544  var1cv1 20808  Poly1cpl1 20809   Mat cmat 21015   maDet cmdat 21192   matToPolyMat cmat2pmat 21312   CharPlyMat cchpmat 21434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-efmnd 18029  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-gim 18394  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-symg 18491  df-pmtr 18565  df-psgn 18614  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-rnghom 19466  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-cnfld 20095  df-zring 20167  df-zrh 20200  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-ascl 20547  df-psr 20597  df-mvr 20598  df-mpl 20599  df-opsr 20601  df-psr1 20812  df-vr1 20813  df-ply1 20814  df-mamu 20994  df-mat 21016  df-mdet 21193  df-mat2pmat 21315  df-chpmat 21435
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator