Theorem chpmat1d 22792

Description: The characteristic polynomial of a matrix with dimension 1. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmat1d.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmat1d.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmat1d.z	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpmat1d.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpmat1d	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8992	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
2		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
5	4	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
6		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
7		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
8		chpmat1d.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9		chpmat1d.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		chpmat1d.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		chpmat1d.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-g‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃)) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
19	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	chpmatval 22787	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))))
20	5, 6, 7, 19	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))))
21	11	ply1crng 22151	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
22	21	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
23		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
24		crngring 20192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
25	11	ply1ring 22200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
27	26	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
28	12	matring 22399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring)
29	5, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring)
30		ringgrp 20185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Grp)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ Grp)
32	12	matlmod 22385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ LMod)
33	5, 27, 32	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 Mat 𝑃) ∈ LMod)
34	24	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
35		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
36		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
37	15, 35, 36	vr1cl 22170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
38	34, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
39	35	ply1crng 22151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Poly1‘𝑅) ∈ CRing)
40	39	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Poly1‘𝑅) ∈ CRing)
41	11	oveq2i 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1‘𝑅))
42	41	matsca2 22376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ CRing) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)))
43	5, 40, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Poly1‘𝑅) = (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)))
44	43	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Poly1‘𝑅))
45	44	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))) = (Base‘(Poly1‘𝑅)))
46	38, 45	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))))
47		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))
48	47, 18	ringidcl 20212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 Mat 𝑃) ∈ Ring → (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
49	29, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
50		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))
51		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))) = (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃)))
52	47, 50, 16, 51	lmodvscl 20841	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 Mat 𝑃) ∈ LMod ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∧ (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
53	33, 46, 49, 52	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
54	17, 9, 10, 11, 12	mat2pmatbas 22682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
55	5, 34, 7, 54	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
56	47, 14	grpsubcl 18962	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 Mat 𝑃) ∈ Grp ∧ ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∧ ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
57	31, 53, 55, 56	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
58	13, 12, 47	m1detdiag 22553	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) = (𝐼(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼))
59	22, 23, 57, 58	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) = (𝐼(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼))
60		chpmat1d.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
61	60	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (var1‘𝑅) = 𝑋
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (var1‘𝑅) = 𝑋)
63	62	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))) = (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃))))
64	63	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) = ((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)))
65	64	oveqd 7385	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼))
66		chpmat1d.z	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
67		chpmat1d.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
68	8, 11, 9, 10, 60, 66, 67, 12, 17	chpmat1dlem 22791	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
69	24, 68	syl3an1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
70	65, 69	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))𝐼) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
71	59, 70	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
72	20, 71	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  Grpcgrp 18875  -_gcsg 18877  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  LModclmod 20823  algSccascl 21819  var₁cv1 22128  Poly₁cpl1 22129   Mat cmat 22363   maDet cmdat 22540   matToPolyMat cmat2pmat 22660   CharPlyMat cchpmat 22782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-splice 14685  df-reverse 14694  df-s2 14783  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-efmnd 18806  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-symg 19311  df-pmtr 19383  df-psgn 19432  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-mamu 22347  df-mat 22364  df-mdet 22541  df-mat2pmat 22663  df-chpmat 22783

This theorem is referenced by: (None)