Theorem chpmatval2 22817

Description: The characteristic polynomial of a (square) matrix (expressed with the Leibnitz formula for the determinant). (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmatply1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmatply1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmatply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmatply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmatval2.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmatval2.m1	⊢ − = (-g‘𝑌)
chpmatval2.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmatval2.t1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chpmatval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chpmatval2.i	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
chpmatval2.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
chpmatval2.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺)
chpmatval2.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
chpmatval2.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
chpmatval2.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
chpmatval2.rm	⊢ × = (.r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpmatval2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑋,𝑝,𝑥   · ,𝑝,𝑥   1 ,𝑝,𝑥   − ,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑝)   𝐶(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑝)   × (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)   𝑍(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem chpmatval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmatply1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chpmatply1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		chpmatply1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		chpmatply1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		chpmatval2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		eqid 2739	. . 3 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
7		chpmatval2.m1	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8		chpmatval2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		chpmatval2.t1	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		chpmatval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11		chpmatval2.i	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	chpmatval 22815	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))))
13		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
14	5	fveq2i 6831	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑌) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
15	7, 14	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ − = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
16	5	fveq2i 6831	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
17	9, 16	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
18	5	fveq2i 6831	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
19	11, 18	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
20		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
21	2, 3, 4, 13, 8, 10, 15, 17, 19, 20	chmatcl 22812	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
22	5	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = 𝑌
23	22	fveq2i 6831	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘𝑌)
24		chpmatval2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺)
25		chpmatval2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
26	25	fveq2i 6831	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
27	24, 26	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
28		chpmatval2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
29		chpmatval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
30		chpmatval2.rm	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
31		chpmatval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
32	6, 5, 23, 27, 28, 29, 30, 31	mdetleib 22571	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))
33	21, 32	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))
34	12, 33	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ↦ cmpt 5154   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Fincfn 8884  Basecbs 17171  ._rcmulr 17213   ·_𝑠 cvsca 17216   Σ_g cgsu 17395  -_gcsg 18903  SymGrpcsymg 19336  pmSgncpsgn 19456  mulGrpcmgp 20113  1_rcur 20154  Ringcrg 20206  ℤRHomczrh 21475  var₁cv1 22162  Poly₁cpl1 22163   Mat cmat 22391   maDet cmdat 22568   matToPolyMat cmat2pmat 22688   CharPlyMat cchpmat 22810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-ot 4565  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-hash 14285  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-hom 17236  df-cco 17237  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19180  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-dsmm 21708  df-frlm 21723  df-ascl 21831  df-psr 21885  df-mvr 21886  df-mpl 21887  df-opsr 21889  df-psr1 22166  df-vr1 22167  df-ply1 22168  df-mamu 22375  df-mat 22392  df-mdet 22569  df-mat2pmat 22691  df-chpmat 22811

This theorem is referenced by: (None)