Theorem chpmatval2 22720

Description: The characteristic polynomial of a (square) matrix (expressed with the Leibnitz formula for the determinant). (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmatply1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmatply1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmatply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmatply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmatval2.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmatval2.m1	⊢ − = (-g‘𝑌)
chpmatval2.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmatval2.t1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chpmatval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chpmatval2.i	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
chpmatval2.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
chpmatval2.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺)
chpmatval2.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
chpmatval2.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
chpmatval2.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
chpmatval2.rm	⊢ × = (.r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpmatval2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑋,𝑝,𝑥   · ,𝑝,𝑥   1 ,𝑝,𝑥   − ,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑝)   𝐶(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑝)   × (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)   𝑍(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem chpmatval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmatply1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chpmatply1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		chpmatply1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		chpmatply1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		chpmatval2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
7		chpmatval2.m1	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8		chpmatval2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		chpmatval2.t1	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		chpmatval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11		chpmatval2.i	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	chpmatval 22718	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))))
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
14	5	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑌) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
15	7, 14	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ − = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
16	5	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
17	9, 16	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
18	5	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
19	11, 18	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
20		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
21	2, 3, 4, 13, 8, 10, 15, 17, 19, 20	chmatcl 22715	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
22	5	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = 𝑌
23	22	fveq2i 6861	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘𝑌)
24		chpmatval2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺)
25		chpmatval2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
26	25	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
27	24, 26	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
28		chpmatval2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
29		chpmatval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
30		chpmatval2.rm	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
31		chpmatval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
32	6, 5, 23, 27, 28, 29, 30, 31	mdetleib 22474	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))
33	21, 32	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))
34	12, 33	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   ·_𝑠 cvsca 17224   Σ_g cgsu 17403  -_gcsg 18867  SymGrpcsymg 19299  pmSgncpsgn 19419  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  ℤRHomczrh 21409  var₁cv1 22060  Poly₁cpl1 22061   Mat cmat 22294   maDet cmdat 22471   matToPolyMat cmat2pmat 22591   CharPlyMat cchpmat 22713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-mamu 22278  df-mat 22295  df-mdet 22472  df-mat2pmat 22594  df-chpmat 22714

This theorem is referenced by: (None)