Theorem chpmatval2 21890

Description: The characteristic polynomial of a (square) matrix (expressed with the Leibnitz formula for the determinant). (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmatply1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmatply1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmatply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmatply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmatval2.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmatval2.m1	⊢ − = (-g‘𝑌)
chpmatval2.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmatval2.t1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chpmatval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chpmatval2.i	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
chpmatval2.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
chpmatval2.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺)
chpmatval2.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
chpmatval2.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
chpmatval2.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
chpmatval2.rm	⊢ × = (.r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpmatval2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑋,𝑝,𝑥   · ,𝑝,𝑥   1 ,𝑝,𝑥   − ,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑝)   𝐶(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑝)   × (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)   𝑍(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem chpmatval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmatply1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chpmatply1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		chpmatply1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		chpmatply1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		chpmatval2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
7		chpmatval2.m1	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8		chpmatval2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		chpmatval2.t1	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		chpmatval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11		chpmatval2.i	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	chpmatval 21888	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
14	5	fveq2i 6759	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑌) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
15	7, 14	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ − = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
16	5	fveq2i 6759	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
17	9, 16	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
18	5	fveq2i 6759	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
19	11, 18	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
21	2, 3, 4, 13, 8, 10, 15, 17, 19, 20	chmatcl 21885	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
22	5	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = 𝑌
23	22	fveq2i 6759	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘𝑌)
24		chpmatval2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺)
25		chpmatval2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
26	25	fveq2i 6759	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
27	24, 26	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
28		chpmatval2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
29		chpmatval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
30		chpmatval2.rm	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
31		chpmatval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
32	6, 5, 23, 27, 28, 29, 30, 31	mdetleib 21644	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))
33	21, 32	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))
34	12, 33	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889   ·_𝑠 cvsca 16892   Σ_g cgsu 17068  -_gcsg 18494  SymGrpcsymg 18889  pmSgncpsgn 19012  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  ℤRHomczrh 20613  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258   Mat cmat 21464   maDet cmdat 21641   matToPolyMat cmat2pmat 21761   CharPlyMat cchpmat 21883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-mamu 21443  df-mat 21465  df-mdet 21642  df-mat2pmat 21764  df-chpmat 21884

This theorem is referenced by: (None)