MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmatval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmatval2 22080
Description: The characteristic polynomial of a (square) matrix (expressed with the Leibnitz formula for the determinant). (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmatply1.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmatply1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmatply1.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmatply1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpmatval2.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmatval2.m1 = (-g𝑌)
chpmatval2.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpmatval2.t1 · = ( ·𝑠𝑌)
chpmatval2.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chpmatval2.i 1 = (1r𝑌)
chpmatval2.g 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
chpmatval2.h 𝐻 = (Base‘𝐺)
chpmatval2.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
chpmatval2.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
chpmatval2.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
chpmatval2.rm × = (.r𝑃)
Assertion
Ref Expression
chpmatval2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝𝐻 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑋,𝑝,𝑥   · ,𝑝,𝑥   1 ,𝑝,𝑥   ,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑝)   𝐶(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑝)   × (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)   𝑍(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem chpmatval2
StepHypRef Expression
1 chpmatply1.c . . 3 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2 chpmatply1.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 chpmatply1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 chpmatply1.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 chpmatval2.y . . 3 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 eqid 2736 . . 3 (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
7 chpmatval2.m1 . . 3 = (-g𝑌)
8 chpmatval2.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
9 chpmatval2.t1 . . 3 · = ( ·𝑠𝑌)
10 chpmatval2.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11 chpmatval2.i . . 3 1 = (1r𝑌)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11chpmatval 22078 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))))
13 eqid 2736 . . . 4 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
145fveq2i 6822 . . . . 5 (-g𝑌) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
157, 14eqtri 2764 . . . 4 = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
165fveq2i 6822 . . . . 5 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
179, 16eqtri 2764 . . . 4 · = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
185fveq2i 6822 . . . . 5 (1r𝑌) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
1911, 18eqtri 2764 . . . 4 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
20 eqid 2736 . . . 4 ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
212, 3, 4, 13, 8, 10, 15, 17, 19, 20chmatcl 22075 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
225eqcomi 2745 . . . . 5 (𝑁 Mat 𝑃) = 𝑌
2322fveq2i 6822 . . . 4 (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘𝑌)
24 chpmatval2.h . . . . 5 𝐻 = (Base‘𝐺)
25 chpmatval2.g . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
2625fveq2i 6822 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2724, 26eqtri 2764 . . . 4 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
28 chpmatval2.z . . . 4 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
29 chpmatval2.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
30 chpmatval2.rm . . . 4 × = (.r𝑃)
31 chpmatval2.u . . . 4 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
326, 5, 23, 27, 28, 29, 30, 31mdetleib 21834 . . 3 (((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝𝐻 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))𝑥)))))))
3321, 32syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝𝐻 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))𝑥)))))))
3412, 33eqtrd 2776 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝𝐻 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))𝑥)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cmpt 5172  ccom 5618  cfv 6473  (class class class)co 7329  Fincfn 8796  Basecbs 17001  .rcmulr 17052   ·𝑠 cvsca 17055   Σg cgsu 17240  -gcsg 18667  SymGrpcsymg 19062  pmSgncpsgn 19185  mulGrpcmgp 19807  1rcur 19824  Ringcrg 19870  ℤRHomczrh 20799  var1cv1 21445  Poly1cpl1 21446   Mat cmat 21652   maDet cmdat 21831   matToPolyMat cmat2pmat 21951   CharPlyMat cchpmat 22073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-ofr 7588  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-sup 9291  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-hash 14138  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-hom 17075  df-cco 17076  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-prds 17247  df-pws 17249  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mulg 18789  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-subrg 20119  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-sra 20532  df-rgmod 20533  df-dsmm 21037  df-frlm 21052  df-ascl 21160  df-psr 21210  df-mvr 21211  df-mpl 21212  df-opsr 21214  df-psr1 21449  df-vr1 21450  df-ply1 21451  df-mamu 21631  df-mat 21653  df-mdet 21832  df-mat2pmat 21954  df-chpmat 22074
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator