Theorem chpmatval2 22792

Description: The characteristic polynomial of a (square) matrix (expressed with the Leibnitz formula for the determinant). (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmatply1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmatply1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmatply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmatply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmatval2.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmatval2.m1	⊢ − = (-g‘𝑌)
chpmatval2.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpmatval2.t1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chpmatval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chpmatval2.i	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
chpmatval2.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
chpmatval2.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺)
chpmatval2.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
chpmatval2.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
chpmatval2.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
chpmatval2.rm	⊢ × = (.r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpmatval2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝑇,𝑝,𝑥   𝑋,𝑝,𝑥   · ,𝑝,𝑥   1 ,𝑝,𝑥   − ,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑝)   𝐶(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑝)   × (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)   𝑍(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem chpmatval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmatply1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chpmatply1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		chpmatply1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		chpmatply1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		chpmatval2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
7		chpmatval2.m1	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
8		chpmatval2.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		chpmatval2.t1	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		chpmatval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11		chpmatval2.i	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	chpmatval 22790	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
14	5	fveq2i 6845	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑌) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
15	7, 14	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ − = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
16	5	fveq2i 6845	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
17	9, 16	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
18	5	fveq2i 6845	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
19	11, 18	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
21	2, 3, 4, 13, 8, 10, 15, 17, 19, 20	chmatcl 22787	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
22	5	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = 𝑌
23	22	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘𝑌)
24		chpmatval2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐺)
25		chpmatval2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
26	25	fveq2i 6845	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
27	24, 26	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
28		chpmatval2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑃)
29		chpmatval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
30		chpmatval2.rm	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
31		chpmatval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
32	6, 5, 23, 27, 28, 29, 30, 31	mdetleib 22546	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))
33	21, 32	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))
34	12, 33	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑝 ∈ 𝐻 ↦ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑝) × (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5181   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190   ·_𝑠 cvsca 17193   Σ_g cgsu 17372  -_gcsg 18880  SymGrpcsymg 19313  pmSgncpsgn 19433  mulGrpcmgp 20090  1_rcur 20131  Ringcrg 20183  ℤRHomczrh 21469  var₁cv1 22131  Poly₁cpl1 22132   Mat cmat 22366   maDet cmdat 22543   matToPolyMat cmat2pmat 22663   CharPlyMat cchpmat 22785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-mulg 19013  df-subg 19068  df-ghm 19157  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-dsmm 21702  df-frlm 21717  df-ascl 21825  df-psr 21880  df-mvr 21881  df-mpl 21882  df-opsr 21884  df-psr1 22135  df-vr1 22136  df-ply1 22137  df-mamu 22350  df-mat 22367  df-mdet 22544  df-mat2pmat 22666  df-chpmat 22786

This theorem is referenced by: (None)