Theorem cpmadurid 22368

Description: The right-hand fundamental relation of the adjugate (see madurid 22145) applied to the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadurid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadurid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadurid.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmadurid.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadurid.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadurid.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadurid.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadurid.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadurid.m1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadurid.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadurid.i	⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadurid.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadurid.m2	⊢ × = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cpmadurid	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝐶‘𝑀) · 1 ))

Proof of Theorem cpmadurid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20067	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		cpmadurid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		cpmadurid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		cpmadurid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		cpmadurid.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		cpmadurid.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
7		cpmadurid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
8		cpmadurid.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
9		cpmadurid.m1	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		cpmadurid.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
11		cpmadurid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	chmatcl 22329	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
13	1, 12	syl3an2 1164	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
14	4	ply1crng 21721	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
15	14	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
16		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17		cpmadurid.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
18		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
19		cpmadurid.m2	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑌)
20	5, 16, 17, 18, 10, 19, 9	madurid 22145	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ CRing) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ))
21	13, 15, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ))
22		cpmadurid.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
23	22, 2, 3, 4, 5, 18, 8, 6, 9, 7, 10	chpmatval 22332	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))))
24	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)))
25	24	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) = 𝐼)
26	25	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼))
27	23, 26	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) = (𝐶‘𝑀))
28	27	oveq1d 7423	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ) = ((𝐶‘𝑀) · 1 ))
29	21, 28	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝐶‘𝑀) · 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197   ·_𝑠 cvsca 17200  -_gcsg 18820  1_rcur 20003  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056  var₁cv1 21699  Poly₁cpl1 21700   Mat cmat 21906   maDet cmdat 22085   maAdju cmadu 22133   matToPolyMat cmat2pmat 22205   CharPlyMat cchpmat 22327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-symg 19234  df-pmtr 19309  df-psgn 19358  df-evpm 19359  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-mamu 21885  df-mat 21907  df-mdet 22086  df-madu 22135  df-mat2pmat 22208  df-chpmat 22328

This theorem is referenced by:  chcoeffeq  22387