Theorem cpmadurid 22770

Description: The right-hand fundamental relation of the adjugate (see madurid 22547) applied to the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadurid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadurid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadurid.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmadurid.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadurid.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadurid.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadurid.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadurid.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadurid.m1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadurid.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadurid.i	⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadurid.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadurid.m2	⊢ × = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cpmadurid	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝐶‘𝑀) · 1 ))

Proof of Theorem cpmadurid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20148	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		cpmadurid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		cpmadurid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		cpmadurid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		cpmadurid.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		cpmadurid.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
7		cpmadurid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
8		cpmadurid.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
9		cpmadurid.m1	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		cpmadurid.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
11		cpmadurid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	chmatcl 22731	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
13	1, 12	syl3an2 1164	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
14	4	ply1crng 22099	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
15	14	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
16		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17		cpmadurid.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
18		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
19		cpmadurid.m2	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑌)
20	5, 16, 17, 18, 10, 19, 9	madurid 22547	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ CRing) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ))
21	13, 15, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ))
22		cpmadurid.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
23	22, 2, 3, 4, 5, 18, 8, 6, 9, 7, 10	chpmatval 22734	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))))
24	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)))
25	24	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) = 𝐼)
26	25	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼))
27	23, 26	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) = (𝐶‘𝑀))
28	27	oveq1d 7368	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ) = ((𝐶‘𝑀) · 1 ))
29	21, 28	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝐶‘𝑀) · 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180   ·_𝑠 cvsca 17183  -_gcsg 18832  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  var₁cv1 22076  Poly₁cpl1 22077   Mat cmat 22310   maDet cmdat 22487   maAdju cmadu 22535   matToPolyMat cmat2pmat 22607   CharPlyMat cchpmat 22729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-splice 14674  df-reverse 14683  df-s2 14773  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-efmnd 18761  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-gim 19156  df-cntz 19214  df-oppg 19243  df-symg 19267  df-pmtr 19339  df-psgn 19388  df-evpm 19389  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-cnfld 21280  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-opsr 21838  df-psr1 22080  df-vr1 22081  df-ply1 22082  df-mamu 22294  df-mat 22311  df-mdet 22488  df-madu 22537  df-mat2pmat 22610  df-chpmat 22730

This theorem is referenced by:  chcoeffeq  22789