![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cpmadurid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The right-hand fundamental relation of the adjugate (see madurid 22490) applied to the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
cpmadurid.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
cpmadurid.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
cpmadurid.c | โข ๐ถ = (๐ CharPlyMat ๐ ) |
cpmadurid.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
cpmadurid.y | โข ๐ = (๐ Mat ๐) |
cpmadurid.x | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
cpmadurid.t | โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐ ) |
cpmadurid.s | โข โ = (-gโ๐) |
cpmadurid.m1 | โข ยท = ( ยท๐ โ๐) |
cpmadurid.1 | โข 1 = (1rโ๐) |
cpmadurid.i | โข ๐ผ = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) |
cpmadurid.j | โข ๐ฝ = (๐ maAdju ๐) |
cpmadurid.m2 | โข ร = (.rโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
cpmadurid | โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ถโ๐) ยท 1 )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | crngring 20146 | . . . 4 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ Ring) | |
2 | cpmadurid.a | . . . . 5 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
3 | cpmadurid.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
4 | cpmadurid.p | . . . . 5 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
5 | cpmadurid.y | . . . . 5 โข ๐ = (๐ Mat ๐) | |
6 | cpmadurid.x | . . . . 5 โข ๐ = (var1โ๐ ) | |
7 | cpmadurid.t | . . . . 5 โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐ ) | |
8 | cpmadurid.s | . . . . 5 โข โ = (-gโ๐) | |
9 | cpmadurid.m1 | . . . . 5 โข ยท = ( ยท๐ โ๐) | |
10 | cpmadurid.1 | . . . . 5 โข 1 = (1rโ๐) | |
11 | cpmadurid.i | . . . . 5 โข ๐ผ = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) | |
12 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | chmatcl 22674 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ผ โ (Baseโ๐)) |
13 | 1, 12 | syl3an2 1161 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ผ โ (Baseโ๐)) |
14 | 4 | ply1crng 22061 | . . . 4 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ CRing) |
15 | 14 | 3ad2ant2 1131 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ CRing) |
16 | eqid 2724 | . . . 4 โข (Baseโ๐) = (Baseโ๐) | |
17 | cpmadurid.j | . . . 4 โข ๐ฝ = (๐ maAdju ๐) | |
18 | eqid 2724 | . . . 4 โข (๐ maDet ๐) = (๐ maDet ๐) | |
19 | cpmadurid.m2 | . . . 4 โข ร = (.rโ๐) | |
20 | 5, 16, 17, 18, 10, 19, 9 | madurid 22490 | . . 3 โข ((๐ผ โ (Baseโ๐) โง ๐ โ CRing) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = (((๐ maDet ๐)โ๐ผ) ยท 1 )) |
21 | 13, 15, 20 | syl2anc 583 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = (((๐ maDet ๐)โ๐ผ) ยท 1 )) |
22 | cpmadurid.c | . . . . 5 โข ๐ถ = (๐ CharPlyMat ๐ ) | |
23 | 22, 2, 3, 4, 5, 18, 8, 6, 9, 7, 10 | chpmatval 22677 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ถโ๐) = ((๐ maDet ๐)โ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)))) |
24 | 11 | a1i 11 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ผ = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐))) |
25 | 24 | eqcomd 2730 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) = ๐ผ) |
26 | 25 | fveq2d 6886 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ maDet ๐)โ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐))) = ((๐ maDet ๐)โ๐ผ)) |
27 | 23, 26 | eqtr2d 2765 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ maDet ๐)โ๐ผ) = (๐ถโ๐)) |
28 | 27 | oveq1d 7417 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (((๐ maDet ๐)โ๐ผ) ยท 1 ) = ((๐ถโ๐) ยท 1 )) |
29 | 21, 28 | eqtrd 2764 | 1 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ถโ๐) ยท 1 )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6534 (class class class)co 7402 Fincfn 8936 Basecbs 17149 .rcmulr 17203 ยท๐ cvsca 17206 -gcsg 18861 1rcur 20082 Ringcrg 20134 CRingccrg 20135 var1cv1 22039 Poly1cpl1 22040 Mat cmat 22251 maDet cmdat 22430 maAdju cmadu 22478 matToPolyMat cmat2pmat 22550 CharPlyMat cchpmat 22672 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-addf 11186 ax-mulf 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-xor 1505 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-tp 4626 df-op 4628 df-ot 4630 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-iin 4991 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-se 5623 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-isom 6543 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-of 7664 df-ofr 7665 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-supp 8142 df-tpos 8207 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-er 8700 df-map 8819 df-pm 8820 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-sup 9434 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-xnn0 12544 df-z 12558 df-dec 12677 df-uz 12822 df-rp 12976 df-fz 13486 df-fzo 13629 df-seq 13968 df-exp 14029 df-hash 14292 df-word 14467 df-lsw 14515 df-concat 14523 df-s1 14548 df-substr 14593 df-pfx 14623 df-splice 14702 df-reverse 14711 df-s2 14801 df-struct 17085 df-sets 17102 df-slot 17120 df-ndx 17132 df-base 17150 df-ress 17179 df-plusg 17215 df-mulr 17216 df-starv 17217 df-sca 17218 df-vsca 17219 df-ip 17220 df-tset 17221 df-ple 17222 df-ds 17224 df-unif 17225 df-hom 17226 df-cco 17227 df-0g 17392 df-gsum 17393 df-prds 17398 df-pws 17400 df-mre 17535 df-mrc 17536 df-acs 17538 df-mgm 18569 df-sgrp 18648 df-mnd 18664 df-mhm 18709 df-submnd 18710 df-efmnd 18790 df-grp 18862 df-minusg 18863 df-sbg 18864 df-mulg 18992 df-subg 19046 df-ghm 19135 df-gim 19180 df-cntz 19229 df-oppg 19258 df-symg 19283 df-pmtr 19358 df-psgn 19407 df-evpm 19408 df-cmn 19698 df-abl 19699 df-mgp 20036 df-rng 20054 df-ur 20083 df-ring 20136 df-cring 20137 df-oppr 20232 df-dvdsr 20255 df-unit 20256 df-invr 20286 df-dvr 20299 df-rhm 20370 df-subrng 20442 df-subrg 20467 df-drng 20585 df-lmod 20704 df-lss 20775 df-sra 21017 df-rgmod 21018 df-cnfld 21235 df-zring 21323 df-zrh 21379 df-dsmm 21616 df-frlm 21631 df-ascl 21739 df-psr 21792 df-mvr 21793 df-mpl 21794 df-opsr 21796 df-psr1 22043 df-vr1 22044 df-ply1 22045 df-mamu 22230 df-mat 22252 df-mdet 22431 df-madu 22480 df-mat2pmat 22553 df-chpmat 22673 |
This theorem is referenced by: chcoeffeq 22732 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |