![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cpmadurid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The right-hand fundamental relation of the adjugate (see madurid 22559) applied to the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
cpmadurid.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
cpmadurid.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
cpmadurid.c | โข ๐ถ = (๐ CharPlyMat ๐ ) |
cpmadurid.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
cpmadurid.y | โข ๐ = (๐ Mat ๐) |
cpmadurid.x | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
cpmadurid.t | โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐ ) |
cpmadurid.s | โข โ = (-gโ๐) |
cpmadurid.m1 | โข ยท = ( ยท๐ โ๐) |
cpmadurid.1 | โข 1 = (1rโ๐) |
cpmadurid.i | โข ๐ผ = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) |
cpmadurid.j | โข ๐ฝ = (๐ maAdju ๐) |
cpmadurid.m2 | โข ร = (.rโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
cpmadurid | โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ถโ๐) ยท 1 )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | crngring 20185 | . . . 4 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ Ring) | |
2 | cpmadurid.a | . . . . 5 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
3 | cpmadurid.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
4 | cpmadurid.p | . . . . 5 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
5 | cpmadurid.y | . . . . 5 โข ๐ = (๐ Mat ๐) | |
6 | cpmadurid.x | . . . . 5 โข ๐ = (var1โ๐ ) | |
7 | cpmadurid.t | . . . . 5 โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐ ) | |
8 | cpmadurid.s | . . . . 5 โข โ = (-gโ๐) | |
9 | cpmadurid.m1 | . . . . 5 โข ยท = ( ยท๐ โ๐) | |
10 | cpmadurid.1 | . . . . 5 โข 1 = (1rโ๐) | |
11 | cpmadurid.i | . . . . 5 โข ๐ผ = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) | |
12 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | chmatcl 22743 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ผ โ (Baseโ๐)) |
13 | 1, 12 | syl3an2 1162 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ผ โ (Baseโ๐)) |
14 | 4 | ply1crng 22117 | . . . 4 โข (๐ โ CRing โ ๐ โ CRing) |
15 | 14 | 3ad2ant2 1132 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ CRing) |
16 | eqid 2728 | . . . 4 โข (Baseโ๐) = (Baseโ๐) | |
17 | cpmadurid.j | . . . 4 โข ๐ฝ = (๐ maAdju ๐) | |
18 | eqid 2728 | . . . 4 โข (๐ maDet ๐) = (๐ maDet ๐) | |
19 | cpmadurid.m2 | . . . 4 โข ร = (.rโ๐) | |
20 | 5, 16, 17, 18, 10, 19, 9 | madurid 22559 | . . 3 โข ((๐ผ โ (Baseโ๐) โง ๐ โ CRing) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = (((๐ maDet ๐)โ๐ผ) ยท 1 )) |
21 | 13, 15, 20 | syl2anc 583 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = (((๐ maDet ๐)โ๐ผ) ยท 1 )) |
22 | cpmadurid.c | . . . . 5 โข ๐ถ = (๐ CharPlyMat ๐ ) | |
23 | 22, 2, 3, 4, 5, 18, 8, 6, 9, 7, 10 | chpmatval 22746 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ถโ๐) = ((๐ maDet ๐)โ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)))) |
24 | 11 | a1i 11 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ผ = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐))) |
25 | 24 | eqcomd 2734 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) = ๐ผ) |
26 | 25 | fveq2d 6901 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ maDet ๐)โ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐))) = ((๐ maDet ๐)โ๐ผ)) |
27 | 23, 26 | eqtr2d 2769 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ maDet ๐)โ๐ผ) = (๐ถโ๐)) |
28 | 27 | oveq1d 7435 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (((๐ maDet ๐)โ๐ผ) ยท 1 ) = ((๐ถโ๐) ยท 1 )) |
29 | 21, 28 | eqtrd 2768 | 1 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ถโ๐) ยท 1 )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โcfv 6548 (class class class)co 7420 Fincfn 8964 Basecbs 17180 .rcmulr 17234 ยท๐ cvsca 17237 -gcsg 18892 1rcur 20121 Ringcrg 20173 CRingccrg 20174 var1cv1 22095 Poly1cpl1 22096 Mat cmat 22320 maDet cmdat 22499 maAdju cmadu 22547 matToPolyMat cmat2pmat 22619 CharPlyMat cchpmat 22741 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11195 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 ax-addf 11218 ax-mulf 11219 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-xor 1506 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-ot 4638 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-se 5634 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-isom 6557 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-of 7685 df-ofr 7686 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-supp 8166 df-tpos 8232 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-1o 8487 df-2o 8488 df-er 8725 df-map 8847 df-pm 8848 df-ixp 8917 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-fsupp 9387 df-sup 9466 df-oi 9534 df-card 9963 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-div 11903 df-nn 12244 df-2 12306 df-3 12307 df-4 12308 df-5 12309 df-6 12310 df-7 12311 df-8 12312 df-9 12313 df-n0 12504 df-xnn0 12576 df-z 12590 df-dec 12709 df-uz 12854 df-rp 13008 df-fz 13518 df-fzo 13661 df-seq 14000 df-exp 14060 df-hash 14323 df-word 14498 df-lsw 14546 df-concat 14554 df-s1 14579 df-substr 14624 df-pfx 14654 df-splice 14733 df-reverse 14742 df-s2 14832 df-struct 17116 df-sets 17133 df-slot 17151 df-ndx 17163 df-base 17181 df-ress 17210 df-plusg 17246 df-mulr 17247 df-starv 17248 df-sca 17249 df-vsca 17250 df-ip 17251 df-tset 17252 df-ple 17253 df-ds 17255 df-unif 17256 df-hom 17257 df-cco 17258 df-0g 17423 df-gsum 17424 df-prds 17429 df-pws 17431 df-mre 17566 df-mrc 17567 df-acs 17569 df-mgm 18600 df-sgrp 18679 df-mnd 18695 df-mhm 18740 df-submnd 18741 df-efmnd 18821 df-grp 18893 df-minusg 18894 df-sbg 18895 df-mulg 19024 df-subg 19078 df-ghm 19168 df-gim 19213 df-cntz 19268 df-oppg 19297 df-symg 19322 df-pmtr 19397 df-psgn 19446 df-evpm 19447 df-cmn 19737 df-abl 19738 df-mgp 20075 df-rng 20093 df-ur 20122 df-ring 20175 df-cring 20176 df-oppr 20273 df-dvdsr 20296 df-unit 20297 df-invr 20327 df-dvr 20340 df-rhm 20411 df-subrng 20483 df-subrg 20508 df-drng 20626 df-lmod 20745 df-lss 20816 df-sra 21058 df-rgmod 21059 df-cnfld 21280 df-zring 21373 df-zrh 21429 df-dsmm 21666 df-frlm 21681 df-ascl 21789 df-psr 21842 df-mvr 21843 df-mpl 21844 df-opsr 21846 df-psr1 22099 df-vr1 22100 df-ply1 22101 df-mamu 22299 df-mat 22321 df-mdet 22500 df-madu 22549 df-mat2pmat 22622 df-chpmat 22742 |
This theorem is referenced by: chcoeffeq 22801 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |