Theorem cpmadurid 23165

Description: The right-hand fundamental relation of the adjugate (see madurid 22939) applied to the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadurid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadurid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadurid.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmadurid.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadurid.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadurid.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadurid.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadurid.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadurid.m1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadurid.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadurid.i	⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadurid.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadurid.m2	⊢ × = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cpmadurid	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝐶‘𝑀) · 1 ))

Proof of Theorem cpmadurid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20452	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		cpmadurid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		cpmadurid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		cpmadurid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		cpmadurid.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		cpmadurid.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
7		cpmadurid.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
8		cpmadurid.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑌)
9		cpmadurid.m1	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
10		cpmadurid.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
11		cpmadurid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	chmatcl 23126	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
13	1, 12	syl3an2 1182	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
14	4	ply1crng 22496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
15	14	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
16		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17		cpmadurid.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
19		cpmadurid.m2	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑌)
20	5, 16, 17, 18, 10, 19, 9	madurid 22939	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ CRing) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ))
21	13, 15, 20	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ))
22		cpmadurid.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
23	22, 2, 3, 4, 5, 18, 8, 6, 9, 7, 10	chpmatval 23129	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))))
24	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)))
25	24	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀)) = 𝐼)
26	25	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼))
27	23, 26	eqtr2d 2797	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) = (𝐶‘𝑀))
28	27	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ) = ((𝐶‘𝑀) · 1 ))
29	21, 28	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝐶‘𝑀) · 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409   ·_𝑠 cvsca 17412  -_gcsg 19126  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  CRingccrg 20440  var₁cv1 22474  Poly₁cpl1 22475   Mat cmat 22702   maDet cmdat 22879   maAdju cmadu 22927   matToPolyMat cmat2pmat 23002   CharPlyMat cchpmat 23124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-word 14639  df-lsw 14688  df-concat 14696  df-s1 14723  df-substr 14769  df-pfx 14801  df-splice 14879  df-reverse 14888  df-s2 14979  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-efmnd 19045  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-gim 19453  df-cntz 19511  df-oppg 19540  df-symg 19564  df-pmtr 19636  df-psgn 19685  df-evpm 19686  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-cnfld 21659  df-zring 21733  df-zrh 21789  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-ascl 22143  df-psr 22197  df-mvr 22198  df-mpl 22199  df-opsr 22201  df-psr1 22478  df-vr1 22479  df-ply1 22480  df-mamu 22686  df-mat 22703  df-mdet 22880  df-madu 22929  df-mat2pmat 23005  df-chpmat 23125

This theorem is used by:  chcoeffeq  23184