MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmidgsum2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cpmidgsum2 22731
Description: Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as another group sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
cpmadugsum.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
cpmadugsum.y π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
cpmadugsum.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
cpmadugsum.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
cpmadugsum.r Γ— = (.rβ€˜π‘Œ)
cpmadugsum.1 1 = (1rβ€˜π‘Œ)
cpmadugsum.g + = (+gβ€˜π‘Œ)
cpmadugsum.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘Œ)
cpmadugsum.i 𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))
cpmadugsum.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadugsum.0 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
cpmadugsum.g2 𝐺 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))))
cpmidgsum2.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum2.k 𝐾 = (πΆβ€˜π‘€)
cpmidgsum2.h 𝐻 = (𝐾 · 1 )
Assertion
Ref Expression
cpmidgsum2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ   Γ— ,𝑖   Β· ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ↑ ,𝑖   βˆ’ ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑛,𝑠   𝐡,𝑏,𝑛,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝑀,𝑏,𝑛,𝑠   𝑁,𝑏,𝑛,𝑠   𝑃,𝑖,𝑛   𝑅,𝑏,𝑛,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑋,𝑏,𝑛,𝑠   π‘Œ,𝑏,𝑛,𝑠   ↑ ,𝑛,𝑠,𝑏   Β· ,𝑏,𝑛,𝑠   𝑖,𝐺   Γ— ,𝑛   0 ,𝑛   βˆ’ ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐢(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   Γ— (𝑠,𝑏)   1 (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐻(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   βˆ’ (𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)
Proof of Theorem cpmidgsum2
StepHypRef Expression
1 cpmadugsum.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 cpmadugsum.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
3 cpmadugsum.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 cpmadugsum.y . . 3 π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
5 cpmadugsum.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
6 cpmadugsum.x . . 3 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
7 cpmadugsum.e . . 3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
8 cpmadugsum.m . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
9 cpmadugsum.r . . 3 Γ— = (.rβ€˜π‘Œ)
10 cpmadugsum.1 . . 3 1 = (1rβ€˜π‘Œ)
11 cpmadugsum.g . . 3 + = (+gβ€˜π‘Œ)
12 cpmadugsum.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Œ)
13 cpmadugsum.i . . 3 𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))
14 cpmadugsum.j . . 3 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
15 cpmadugsum.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
16 cpmadugsum.g2 . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cpmadugsum 22730 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))(𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))))
18 crngring 20147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1918anim2i 616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
20193adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
213, 4pmatring 22544 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
22 ringgrp 20140 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ Grp)
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ Grp)
243, 4pmatlmod 22545 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
2518, 24sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
2618adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
286, 3, 27vr1cl 22086 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
303ply1crng 22067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
314matsca2 22272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
3230, 31sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
3332fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
3429, 33eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
35 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3635, 10ringidcl 20162 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
3719, 21, 363syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
38 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
39 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
4035, 38, 8, 39lmodvscl 20721 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4125, 34, 37, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
42413adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
435, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 22578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4418, 43syl3an2 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4535, 12grpsubcl 18945 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4623, 42, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
47303ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ CRing)
48 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
494, 35, 14, 48, 10, 9, 8madurid 22496 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ CRing) β†’ (((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) Γ— (π½β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))) = (((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))) Β· 1 ))
5046, 47, 49syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) Γ— (π½β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))) = (((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))) Β· 1 ))
51 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) β†’ 𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))
52 fveq2 6884 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) β†’ (π½β€˜πΌ) = (π½β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
5351, 52oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) β†’ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) Γ— (π½β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))))
5413, 53mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) Γ— (π½β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))))
55 cpmidgsum2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝐾 Β· 1 )
56 cpmidgsum2.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (πΆβ€˜π‘€)
57 cpmidgsum2.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
5857, 1, 2, 3, 4, 48, 12, 6, 8, 5, 10chpmatval 22683 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = ((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
5956, 58eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 = ((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
6059oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· 1 ) = (((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))) Β· 1 ))
6155, 60eqtrid 2778 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐻 = (((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))) Β· 1 ))
6250, 54, 613eqtr4rd 2777 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐻 = (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)))
6362adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))) β†’ 𝐻 = (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)))
64 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))) β†’ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))))
6563, 64eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))) β†’ 𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))))
6665ex 412 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))) β†’ 𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))))
6766reximdv 3164 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))(𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))))
6867reximdv 3164 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))(𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))))
6917, 68mpd 15 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249   βˆ’ cmin 11445  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  ...cfz 13487  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Grpcgrp 18860  -gcsg 18862  .gcmg 18992  mulGrpcmgp 20036  1rcur 20083  Ringcrg 20135  CRingccrg 20136  LModclmod 20703  var1cv1 22045  Poly1cpl1 22046   Mat cmat 22257   maDet cmdat 22436   maAdju cmadu 22484   matToPolyMat cmat2pmat 22556   CharPlyMat cchpmat 22678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-cur 8250  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14468  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14549  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14802  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-efmnd 18791  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-gim 19181  df-cntz 19230  df-oppg 19259  df-symg 19284  df-pmtr 19359  df-psgn 19408  df-evpm 19409  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-cnfld 21236  df-zring 21329  df-zrh 21385  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-assa 21743  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-psr1 22049  df-vr1 22050  df-ply1 22051  df-coe1 22052  df-mamu 22236  df-mat 22258  df-mdet 22437  df-madu 22486  df-mat2pmat 22559  df-decpmat 22615  df-chpmat 22679
This theorem is referenced by:  cpmidg2sum  22732
  Copyright terms: Public domain W3C validator