MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmidgsum2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cpmidgsum2 22801
Description: Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as another group sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
cpmadugsum.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
cpmadugsum.y π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
cpmadugsum.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
cpmadugsum.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
cpmadugsum.r Γ— = (.rβ€˜π‘Œ)
cpmadugsum.1 1 = (1rβ€˜π‘Œ)
cpmadugsum.g + = (+gβ€˜π‘Œ)
cpmadugsum.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘Œ)
cpmadugsum.i 𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))
cpmadugsum.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadugsum.0 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
cpmadugsum.g2 𝐺 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))))
cpmidgsum2.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum2.k 𝐾 = (πΆβ€˜π‘€)
cpmidgsum2.h 𝐻 = (𝐾 · 1 )
Assertion
Ref Expression
cpmidgsum2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ   Γ— ,𝑖   Β· ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ↑ ,𝑖   βˆ’ ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑛,𝑠   𝐡,𝑏,𝑛,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝑀,𝑏,𝑛,𝑠   𝑁,𝑏,𝑛,𝑠   𝑃,𝑖,𝑛   𝑅,𝑏,𝑛,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑋,𝑏,𝑛,𝑠   π‘Œ,𝑏,𝑛,𝑠   ↑ ,𝑛,𝑠,𝑏   Β· ,𝑏,𝑛,𝑠   𝑖,𝐺   Γ— ,𝑛   0 ,𝑛   βˆ’ ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐢(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   Γ— (𝑠,𝑏)   1 (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐻(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   βˆ’ (𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)
Proof of Theorem cpmidgsum2
StepHypRef Expression
1 cpmadugsum.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 cpmadugsum.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
3 cpmadugsum.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 cpmadugsum.y . . 3 π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
5 cpmadugsum.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
6 cpmadugsum.x . . 3 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
7 cpmadugsum.e . . 3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
8 cpmadugsum.m . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
9 cpmadugsum.r . . 3 Γ— = (.rβ€˜π‘Œ)
10 cpmadugsum.1 . . 3 1 = (1rβ€˜π‘Œ)
11 cpmadugsum.g . . 3 + = (+gβ€˜π‘Œ)
12 cpmadugsum.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Œ)
13 cpmadugsum.i . . 3 𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))
14 cpmadugsum.j . . 3 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
15 cpmadugsum.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
16 cpmadugsum.g2 . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cpmadugsum 22800 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))(𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))))
18 crngring 20192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1918anim2i 615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
20193adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
213, 4pmatring 22614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
22 ringgrp 20185 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ Grp)
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ Grp)
243, 4pmatlmod 22615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
2518, 24sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
2618adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
27 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
286, 3, 27vr1cl 22143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
303ply1crng 22124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
314matsca2 22342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
3230, 31sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
3332fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
3429, 33eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
35 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3635, 10ringidcl 20209 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
3719, 21, 363syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
38 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
39 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
4035, 38, 8, 39lmodvscl 20768 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4125, 34, 37, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
42413adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
435, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 22648 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4418, 43syl3an2 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4535, 12grpsubcl 18983 . . . . . . . . . 10 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4623, 42, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
47303ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ CRing)
48 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
494, 35, 14, 48, 10, 9, 8madurid 22566 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ CRing) β†’ (((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) Γ— (π½β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))) = (((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))) Β· 1 ))
5046, 47, 49syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) Γ— (π½β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))) = (((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))) Β· 1 ))
51 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) β†’ 𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))
52 fveq2 6902 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) β†’ (π½β€˜πΌ) = (π½β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
5351, 52oveq12d 7444 . . . . . . . . 9 (𝐼 = ((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) β†’ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) Γ— (π½β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))))
5413, 53mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)) Γ— (π½β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€)))))
55 cpmidgsum2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝐾 Β· 1 )
56 cpmidgsum2.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (πΆβ€˜π‘€)
57 cpmidgsum2.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
5857, 1, 2, 3, 4, 48, 12, 6, 8, 5, 10chpmatval 22753 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = ((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
5956, 58eqtrid 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 = ((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))))
6059oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Β· 1 ) = (((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))) Β· 1 ))
6155, 60eqtrid 2780 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐻 = (((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋 Β· 1 ) βˆ’ (π‘‡β€˜π‘€))) Β· 1 ))
6250, 54, 613eqtr4rd 2779 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐻 = (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)))
6362adantr 479 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))) β†’ 𝐻 = (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)))
64 simpr 483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))) β†’ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))))
6563, 64eqtrd 2768 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))) β†’ 𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))))
6665ex 411 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))) β†’ 𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))))
6766reximdv 3167 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))(𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))))
6867reximdv 3167 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))(𝐼 Γ— (π½β€˜πΌ)) = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–))))))
6917, 68mpd 15 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))𝐻 = (π‘Œ Ξ£g (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜π‘–)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   βˆ’ cmin 11482  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  ...cfz 13524  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Grpcgrp 18897  -gcsg 18899  .gcmg 19030  mulGrpcmgp 20081  1rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  LModclmod 20750  var1cv1 22102  Poly1cpl1 22103   Mat cmat 22327   maDet cmdat 22506   maAdju cmadu 22554   matToPolyMat cmat2pmat 22626   CharPlyMat cchpmat 22748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-cur 8279  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-word 14505  df-lsw 14553  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-splice 14740  df-reverse 14749  df-s2 14839  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-efmnd 18828  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-symg 19329  df-pmtr 19404  df-psgn 19453  df-evpm 19454  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-assa 21794  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-vr1 22107  df-ply1 22108  df-coe1 22109  df-mamu 22306  df-mat 22328  df-mdet 22507  df-madu 22556  df-mat2pmat 22629  df-decpmat 22685  df-chpmat 22749
This theorem is referenced by:  cpmidg2sum  22802
  Copyright terms: Public domain W3C validator