MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmatply1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmatply1 21435
Description: The characteristic polynomial of a (square) matrix over a commutative ring is a polynomial, see also the following remark in [Lang], p. 561: "[the characteristic polynomial] is an element of k[t]". (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmatply1.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmatply1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmatply1.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmatply1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpmatply1.e 𝐸 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
chpmatply1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem chpmatply1
StepHypRef Expression
1 chpmatply1.c . . 3 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2 chpmatply1.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 chpmatply1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 chpmatply1.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2824 . . 3 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
6 eqid 2824 . . 3 (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
7 eqid 2824 . . 3 (-g‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
8 eqid 2824 . . 3 (var1𝑅) = (var1𝑅)
9 eqid 2824 . . 3 ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃)) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
10 eqid 2824 . . 3 (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11 eqid 2824 . . 3 (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11chpmatval 21434 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))))
134ply1crng 20361 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
14133ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
15 crngring 19306 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2824 . . . . 5 (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) = (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))
172, 3, 4, 5, 8, 10, 7, 9, 11, 16chmatcl 21431 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
1815, 17syl3an2 1161 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
19 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))
20 chpmatply1.e . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑃)
216, 5, 19, 20mdetcl 21200 . . 3 ((𝑃 ∈ CRing ∧ (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) ∈ 𝐸)
2214, 18, 21syl2anc 587 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) ∈ 𝐸)
2312, 22eqeltrd 2916 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6344  (class class class)co 7146  Fincfn 8501  Basecbs 16481   ·𝑠 cvsca 16567  -gcsg 18103  1rcur 19249  Ringcrg 19295  CRingccrg 19296  var1cv1 20339  Poly1cpl1 20340   Mat cmat 21011   maDet cmdat 21188   matToPolyMat cmat2pmat 21307   CharPlyMat cchpmat 21429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-word 13865  df-lsw 13913  df-concat 13921  df-s1 13948  df-substr 14001  df-pfx 14031  df-splice 14110  df-reverse 14119  df-s2 14208  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-prds 16719  df-pws 16721  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-mhm 17954  df-submnd 17955  df-efmnd 18032  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-mulg 18223  df-subg 18274  df-ghm 18354  df-gim 18397  df-cntz 18445  df-oppg 18472  df-symg 18494  df-pmtr 18568  df-psgn 18617  df-cmn 18906  df-abl 18907  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-cring 19298  df-oppr 19371  df-dvdsr 19389  df-unit 19390  df-invr 19420  df-dvr 19431  df-rnghom 19465  df-drng 19499  df-subrg 19528  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-sra 19939  df-rgmod 19940  df-ascl 20082  df-psr 20131  df-mvr 20132  df-mpl 20133  df-opsr 20135  df-psr1 20343  df-vr1 20344  df-ply1 20345  df-cnfld 20541  df-zring 20613  df-zrh 20646  df-dsmm 20871  df-frlm 20886  df-mamu 20990  df-mat 21012  df-mdet 21189  df-mat2pmat 21310  df-chpmat 21430
This theorem is referenced by:  chmaidscmat  21451  cpmidgsum  21471  cpmidgsumm2pm  21472  cpmidpmatlem2  21474  cpmidpmatlem3  21475  chcoeffeqlem  21488  cayhamlem3  21490  cayleyhamilton1  21495
  Copyright terms: Public domain W3C validator