Theorem chpmatply1 22726

Description: The characteristic polynomial of a (square) matrix over a commutative ring is a polynomial, see also the following remark in [Lang], p. 561: "[the characteristic polynomial] is an element of k[t]". (Contributed by AV, 2-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 29-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmatply1.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmatply1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmatply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmatply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpmatply1.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpmatply1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem chpmatply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmatply1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chpmatply1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		chpmatply1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		chpmatply1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
7		eqid 2730	. . 3 ⊢ (-g‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (-g‘(𝑁 Mat 𝑃))
8		eqid 2730	. . 3 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
9		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃)) = ( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))
10		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11		eqid 2730	. . 3 ⊢ (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	chpmatval 22725	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))))
13	4	ply1crng 22090	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
14	13	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
15		crngring 20161	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) = (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))
17	2, 3, 4, 5, 8, 10, 7, 9, 11, 16	chmatcl 22722	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
18	15, 17	syl3an2 1164	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
19		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))
20		chpmatply1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑃)
21	6, 5, 19, 20	mdetcl 22490	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) ∈ 𝐸)
22	14, 18, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(𝑁 Mat 𝑃))(1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))(-g‘(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘𝑀))) ∈ 𝐸)
23	12, 22	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  Basecbs 17186   ·_𝑠 cvsca 17231  -_gcsg 18874  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068   Mat cmat 22301   maDet cmdat 22478   matToPolyMat cmat2pmat 22598   CharPlyMat cchpmat 22720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-splice 14722  df-reverse 14731  df-s2 14821  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-efmnd 18803  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-symg 19307  df-pmtr 19379  df-psgn 19428  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zrh 21420  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-mamu 22285  df-mat 22302  df-mdet 22479  df-mat2pmat 22601  df-chpmat 22721

This theorem is referenced by:  chmaidscmat  22742  cpmidgsum  22762  cpmidgsumm2pm  22763  cpmidpmatlem2  22765  cpmidpmatlem3  22766  chcoeffeqlem  22779  cayhamlem3  22781  cayleyhamilton1  22786