MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chpdmat 22667
Description: The characteristic polynomial of a diagonal matrix. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 21-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpdmat.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
chpdmat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chpdmat.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chpdmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
chpdmat (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝐺   𝑖,𝑀,𝑗,π‘˜   𝑖,𝑁,𝑗,π‘˜   𝑃,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑅,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑖,𝑋,𝑗,π‘˜   0 ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝐢(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑆(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝐺(𝑖,𝑗)   βˆ’ (𝑖,𝑗,π‘˜)   0 (𝑖,𝑗)
Proof of Theorem chpdmat
StepHypRef Expression
1 chpdmat.c . . . 4 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2 chpdmat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 chpdmat.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
4 chpdmat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
5 eqid 2724 . . . 4 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
6 eqid 2724 . . . 4 (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
7 eqid 2724 . . . 4 (-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)) = (-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))
8 chpdmat.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
9 eqid 2724 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃)) = ( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))
10 eqid 2724 . . . 4 (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
11 eqid 2724 . . . 4 (1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)) = (1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11chpmatval 22657 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = ((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))))
1312adantr 480 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = ((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))))
144ply1crng 22042 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
15143ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ CRing)
16 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
17 crngring 20142 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
18173anim2i 1150 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))
19 chpdmat.s . . . . . . 7 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
20 chpdmat.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘…)
21 chpdmat.g . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
22 chpdmat.m . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
231, 4, 2, 19, 3, 8, 20, 21, 22, 5, 11, 9, 7, 10chpdmatlem1 22664 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))
2418, 23syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))
2515, 16, 243jca 1125 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ ((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))))
2625adantr 480 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) β†’ (𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ ((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))))
2718anim1i 614 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁))
2827anim1i 614 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
291, 4, 2, 19, 3, 8, 20, 21, 22, 5, 11, 9, 7, 10chpdmatlem2 22665 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3028, 29sylanl1 677 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3130exp31 419 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖 β‰  𝑗 β†’ ((𝑖𝑀𝑗) = 0 β†’ (𝑖((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
3231a2d 29 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
3332ralimdva 3159 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
3433ralimdva 3159 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
3534imp 406 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
36 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)) = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))
37 eqid 2724 . . . 4 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
386, 5, 36, 21, 37mdetdiag 22425 . . 3 ((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ ((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (π‘˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))π‘˜)))))
3926, 35, 38sylc 65 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) β†’ ((𝑁 maDet 𝑃)β€˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (π‘˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))π‘˜))))
401, 4, 2, 19, 3, 8, 20, 21, 22, 5, 11, 9, 7, 10chpdmatlem3 22666 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))π‘˜) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))
4118, 40sylan 579 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))π‘˜) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))
4241adantlr 712 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))π‘˜) = (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))
4342mpteq2dva 5239 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (π‘˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))π‘˜)) = (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜)))))
4443oveq2d 7418 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (π‘˜((𝑋( ·𝑠 β€˜(𝑁 Mat 𝑃))(1rβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))(-gβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))((𝑁 matToPolyMat 𝑅)β€˜π‘€))π‘˜))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))))
4513, 39, 443eqtrd 2768 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(π‘˜π‘€π‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   ↦ cmpt 5222  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  Basecbs 17145   ·𝑠 cvsca 17202  0gc0g 17386   Ξ£g cgsu 17387  -gcsg 18857  mulGrpcmgp 20031  1rcur 20078  Ringcrg 20130  CRingccrg 20131  algSccascl 21717  var1cv1 22020  Poly1cpl1 22021   Mat cmat 22231   maDet cmdat 22410   matToPolyMat cmat2pmat 22530   CharPlyMat cchpmat 22652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-xnn0 12543  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-rp 12973  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-word 14463  df-lsw 14511  df-concat 14519  df-s1 14544  df-substr 14589  df-pfx 14619  df-splice 14698  df-reverse 14707  df-s2 14797  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-prds 17394  df-pws 17396  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-efmnd 18786  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-gim 19176  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-symg 19279  df-pmtr 19354  df-psgn 19403  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-cring 20133  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-rhm 20366  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-sra 21013  df-rgmod 21014  df-cnfld 21231  df-zring 21304  df-zrh 21360  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-ascl 21720  df-psr 21773  df-mvr 21774  df-mpl 21775  df-opsr 21777  df-psr1 22024  df-vr1 22025  df-ply1 22026  df-mamu 22210  df-mat 22232  df-mdet 22411  df-mat2pmat 22533  df-chpmat 22653
This theorem is referenced by:  chpscmat  22668  chp0mat  22672  chpidmat  22673
  Copyright terms: Public domain W3C validator