MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cidval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cidval 17628
Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cidfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
cidfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
cidfval.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
cidfval.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
cidfval.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
cidval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cidval (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‹) = (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ,๐ต   ๐ถ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ   ยท ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ   ๐‘“,๐ป,๐‘”,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘‹,๐‘”,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   1 (๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”)

Proof of Theorem cidval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cidfval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
2 cidfval.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
3 cidfval.o . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
4 cidfval.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
5 cidfval.i . . 3 1 = (Idโ€˜๐ถ)
61, 2, 3, 4, 5cidfval 17627 . 2 (๐œ‘ โ†’ 1 = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
7 simpr 484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
87, 7oveq12d 7422 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ) = (๐‘‹๐ป๐‘‹))
97oveq2d 7420 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐ป๐‘‹))
107opeq2d 4875 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ)
1110, 7oveq12d 7422 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹))
1211oveqd 7421 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“))
1312eqeq1d 2728 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“))
149, 13raleqbidv 3336 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“))
157oveq1d 7419 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) = (๐‘‹๐ป๐‘ฆ))
167, 7opeq12d 4876 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ = โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ)
1716oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ))
1817oveqd 7421 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”))
1918eqeq1d 2728 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
2015, 19raleqbidv 3336 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
2114, 20anbi12d 630 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
2221ralbidv 3171 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
238, 22riotaeqbidv 7363 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) = (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
24 cidval.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
25 riotaex 7364 . . 3 (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) โˆˆ V
2625a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) โˆˆ V)
276, 23, 24, 26fvmptd 6998 1 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‹) = (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  Vcvv 3468  โŸจcop 4629  โ€˜cfv 6536  โ„ฉcrio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  Hom chom 17215  compcco 17216  Catccat 17615  Idccid 17616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-cid 17620
This theorem is referenced by:  catidcl  17633  catlid  17634  catrid  17635
  Copyright terms: Public domain W3C validator