MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cidval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cidval 17657
Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cidfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
cidfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
cidfval.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
cidfval.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
cidfval.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
cidval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cidval (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‹) = (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ,๐ต   ๐ถ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ   ยท ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ   ๐‘“,๐ป,๐‘”,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘“,๐‘”,๐‘ฆ   ๐‘“,๐‘‹,๐‘”,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   1 (๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”)

Proof of Theorem cidval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cidfval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
2 cidfval.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
3 cidfval.o . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
4 cidfval.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
5 cidfval.i . . 3 1 = (Idโ€˜๐ถ)
61, 2, 3, 4, 5cidfval 17656 . 2 (๐œ‘ โ†’ 1 = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
7 simpr 484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
87, 7oveq12d 7438 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ) = (๐‘‹๐ป๐‘‹))
97oveq2d 7436 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐ป๐‘‹))
107opeq2d 4881 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ)
1110, 7oveq12d 7438 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹))
1211oveqd 7437 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“))
1312eqeq1d 2730 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“))
149, 13raleqbidv 3339 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“))
157oveq1d 7435 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) = (๐‘‹๐ป๐‘ฆ))
167, 7opeq12d 4882 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ = โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ)
1716oveq1d 7435 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ))
1817oveqd 7437 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”))
1918eqeq1d 2730 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
2015, 19raleqbidv 3339 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
2114, 20anbi12d 631 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
2221ralbidv 3174 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
238, 22riotaeqbidv 7379 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) = (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
24 cidval.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
25 riotaex 7380 . . 3 (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) โˆˆ V
2625a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) โˆˆ V)
276, 23, 24, 26fvmptd 7012 1 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‹) = (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  Vcvv 3471  โŸจcop 4635  โ€˜cfv 6548  โ„ฉcrio 7375  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  Hom chom 17244  compcco 17245  Catccat 17644  Idccid 17645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-cid 17649
This theorem is referenced by:  catidcl  17662  catlid  17663  catrid  17664
  Copyright terms: Public domain W3C validator