![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cntzrec | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Reciprocity relationship for centralizers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzrec.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
cntzrec.z | โข ๐ = (Cntzโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzrec | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ ๐ โ (๐โ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ralcom 3280 | . . . 4 โข (โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) โ โ๐ฆ โ ๐ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)) | |
2 | eqcom 2733 | . . . . 5 โข ((๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) โ (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) = (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ)) | |
3 | 2 | 2ralbii 3122 | . . . 4 โข (โ๐ฆ โ ๐ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) โ โ๐ฆ โ ๐ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) = (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ)) |
4 | 1, 3 | bitri 275 | . . 3 โข (โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) โ โ๐ฆ โ ๐ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) = (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ)) |
5 | 4 | a1i 11 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) โ โ๐ฆ โ ๐ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) = (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ))) |
6 | cntzrec.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
7 | eqid 2726 | . . 3 โข (+gโ๐) = (+gโ๐) | |
8 | cntzrec.z | . . 3 โข ๐ = (Cntzโ๐) | |
9 | 6, 7, 8 | sscntz 19239 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ โ๐ฅ โ ๐ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ))) |
10 | 6, 7, 8 | sscntz 19239 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ โ๐ฆ โ ๐ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) = (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ))) |
11 | 10 | ancoms 458 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ โ๐ฆ โ ๐ โ๐ฅ โ ๐ (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ) = (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ))) |
12 | 5, 9, 11 | 3bitr4d 311 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐โ๐) โ ๐ โ (๐โ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โwral 3055 โ wss 3943 โcfv 6536 (class class class)co 7404 Basecbs 17150 +gcplusg 17203 Cntzccntz 19228 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-ov 7407 df-cntz 19230 |
This theorem is referenced by: cntzrecd 19595 lsmcntzr 19597 cntzspan 19761 dprdfadd 19939 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |