MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzrec 19249
Description: Reciprocity relationship for centralizers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzrec.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzrec ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘†)))

Proof of Theorem cntzrec
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3280 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))
2 eqcom 2733 . . . . 5 ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
322ralbii 3122 . . . 4 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
41, 3bitri 275 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
54a1i 11 . 2 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)))
6 cntzrec.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
7 eqid 2726 . . 3 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
8 cntzrec.z . . 3 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
96, 7, 8sscntz 19239 . 2 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
106, 7, 8sscntz 19239 . . 3 ((๐‘‡ โІ ๐ต โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ (๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)))
1110ancoms 458 . 2 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)))
125, 9, 113bitr4d 311 1 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533  โˆ€wral 3055   โІ wss 3943  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  Cntzccntz 19228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-cntz 19230
This theorem is referenced by:  cntzrecd  19595  lsmcntzr  19597  cntzspan  19761  dprdfadd  19939
  Copyright terms: Public domain W3C validator