MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzrec 19294
Description: Reciprocity relationship for centralizers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzrec.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzrec ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘†)))

Proof of Theorem cntzrec
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3284 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))
2 eqcom 2735 . . . . 5 ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
322ralbii 3125 . . . 4 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
41, 3bitri 274 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
54a1i 11 . 2 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)))
6 cntzrec.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
7 eqid 2728 . . 3 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
8 cntzrec.z . . 3 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
96, 7, 8sscntz 19284 . 2 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
106, 7, 8sscntz 19284 . . 3 ((๐‘‡ โІ ๐ต โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ (๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)))
1110ancoms 457 . 2 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)))
125, 9, 113bitr4d 310 1 ((๐‘† โІ ๐ต โˆง ๐‘‡ โІ ๐ต) โ†’ (๐‘† โІ (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†” ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533  โˆ€wral 3058   โІ wss 3949  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Cntzccntz 19273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-cntz 19275
This theorem is referenced by:  cntzrecd  19640  lsmcntzr  19642  cntzspan  19806  dprdfadd  19984
  Copyright terms: Public domain W3C validator